Gegeben sind F={(x,y,z)∈R3|x+y−z= 0} and G ={(a−b,a+b,a−3b) | a,b∈R} und man soll die Basis für F und G bestimmen …

Question

Aufgabe:

Bestomme die Basis beider UV-Räume

Problem/Ansatz:

Gegeben sind F={(x,y,z)∈R3|x+y−z= 0} and G ={(a−b,a+b,a−3b) | a,b∈R} und man soll die Basis für F und G bestimmen und dann anschließend die Schnittmenge?

meine Frage wäre für F wäre doch eig jedes v aus F eine Basis, da der Spann<v> = F abbilden könnte,

sprich v = (1,1,2) könnte den kompleten F abdecken, und da dieser ein Vektor ist, ist auch dieser die basis oder?

Comments

(1,-1,0) liegt in F, liegt (1,-1,0) auch in Span( (1,1,2) )?

---

nein leider nicht stimmt, wie komme ich dann auf die basis ?

---

F ist ja der Lösungsraum des homogenen LGS

$$ \begin{pmatrix}1& 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = 0 $$

Da die Koeffizientenmatrix 3 Spalten und Rang 1 besitzt hat dieser die Dimension 3-1 = 2. Für eine Basis brauchst du somit 2 linear unabhängige Vektoren. Du kennst jetzt aber schon zwei linear unabhängige Vektoren in F. Bei so einfachen Beispielen kann man die meist einfach raten. Ansonsten gibt es natürlich auch deterministische Algorithmen um die Basis eines solchen Lösungsraums bestimmt.

G hingegen kannst du direkt als

G = {a*(1 1 1) + b*(-1 1 -3) | a,b } = Span( (1 1 1), (-1, 1, -3) )

schreiben, d.h. man kann hier direkt ein Erzeugendensystem angeben/ablesen. Dann muss man aus diesem (ggf.) nur noch eine Basis auswählen. Aber auch hier sieht man direkt, dass diese linear unabhängig sind. Also bilden beide Vektoren auch schon eine Basis.

Für den Schnitt hilft vielleicht: https://de.wikipedia.org/wiki/Zassenhaus-Algorithmus

---

okay bei der F habe ich das verstanden also wir können wenn wir zwei un vektoren in F finden, diese als Basis nehmen aber wie ist das bei G genau ?

---

Wenn \(v=\begin{pmatrix}a-b\\a+b\\a-3b\end{pmatrix}\in G\) ist, dann ist \(v=a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}\). Eine Basis für \(G\) ist damit unmittelbar ablesbar.

---

in G kannst du a=1,b=0 wählen und hast einen Vektor, einen zweiten mit a=0, b=1 und damit den Span.

lul

---

stimmt, man weiß ja dass Basis aus erzeugende Vektoren besteht und da alle Vektoren aus v die Form hat wie oben, kann man sie als linear kombination aufschrieben und da diese linear kombination alle vektoren aus G abbildet und zusätzlich l.u ist,gilt dass diese beiden eine basis bilden oder?

---

So ist es\(\).

---

die einzelnen basisvektoren müssen in F enthalten sein oder denn es kann ja sein, dass ein skalar 0 ist ? und die matrix A also die koeffnzientenmatrix ist auch nicht ganz sauber bei 2 müsste eine 1 stehen weil es muss ja x+y-y und nicht x+y-2z oder?

---

Bei \(F\) ist es so, dass für einen Vektor \(w=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in F\) gelten muss \(z=x+y\).
Analog zum anderen Fall ist dann \(w=\begin{pmatrix}x\\y\\x+y\end{pmatrix}=x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).

---

Ja aber warum sind das ausgerechnet die basisvejtoren? Weil man jedes v aus F durch diese Schreibweise darstellen kann oder?

Answer 1

Aloha :)

Um eine Basis für \(F\) anzugeben, schreibe die definierende Gleichung nach \(z\) um:$$x+y-z=0\quad\implies\quad z=x+y$$Damit kannst du alle Vektoren aus \(F\) wie folgt schreiben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\x+y\end{pmatrix}=x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$Und da stehen sie, zwei mögliche Basisvektoren ;)

Für eine Basis von \(G\) gehst du analog vor. Für alle Vektoren aus \(G\) gilt:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-b\\a+b\\a-3b\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}$$Und da stehen sie wieder, zwei mögliche Basisvektoren.

Comments

Aber warum sind diese Vektoren ausgerechnet die basen? Weil sie die Definition erfüllen oder

---

Vorsicht, es gibt nicht DIE Basis. Eine Basis ist nicht eindeutig. Eine Basis liegt vor, wenn man (1) alle Vektoren des Vektorraums als Linearkombination der Basis-Vektoren schreiben kann und (2) die Basis-Vektoren voneinander linear unabhängig sind.

---

genau und in dem falle sind es unsere beiden vektoren ja ? sie erfüllt unsere definiton ? oder

---

Genau. Wir haben gezeigt, dass jeder Vektor des Vekorraums als Linearkombination der beiden Basis-Vektoren darstellbar ist. Und dass die beiden Basis-Vektoren linear unabhängig sind, ist klar, weil sie nicht parallel oder anitparallel zueiander liegen.

---

danke :)))))))))