Ist mein Beweis zu mehrdimensionalen Grenzwerten korrekt?

Question

Hallo,

Ich habe eine Frage zu Grenzwerte mit zwei Variablen (im IR^n!).

Die Definition lautet ja:

lim f(x,y) = C :<=>

(x,y) -> (a,b)

∀ε>0∃ẟ>0∀x,y∈D : (0 < || (x,y)-(a,b)|| <ẟ ⇒ |f(x,y)-C| < ε) 

Dann habe ich versucht ein Beispiel zu rechnen.

lim x+y = 4

(x,y) -> (2,2)

Sei ε>0 beliebig. Wähle ẟ:=ε >0 dann gilt  ∀x,y∈D mit 0 < || (x,y)-(2,2)|| <ẟ :

| x+y - 4 | = |x-2+y-2| < ẟ < ε

Ist der Beweis so korrekt? Ich habe einfach die Summennorm verwendet, da alle Normen im IR^n äquivalent sind.

Danke!

Answer 1

Hallo,

Ja, das ist korrekt. Ich würde nur zur Verdeutlichung noch einschieben:

$$|x-2+y-2|\leq |x-2|+|y-2|<\delta$$

Gruß Mathhilf

Comments

Danke für die Antwort! Warum reicht es eigentlich bei der Inklusion nur die Summennorm hinzuschreiben, aber bei der Prämisse die ||.||?

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Ich bin davon ausgegangen, dass Du überall die Summennorm meinst. Wenn das nicht so ist, dann ist der Beweis zu verändern.

Gruß Mathhilf

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Ich meinte diesen link :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function

Unter der Rubrik „function with More than one variables.“

Warum steht in der Inklusion nur die Summennorm?

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In diesem Link, sind die Argumente von f aus dem \(\mathbb{R}^2\), ihre Abstände werden mit einer Norm beschrieben. Die Bilder liegen in \(\mathbb{R}\), ihre Bilder werden mit dem gewöhnlichen Betrag beschrieben.

Gruß Mathhilf