Stetigkeit einer mehrdimensionalen Funktion

Question

Aufgabe:

Ist f im Punkt (0,0) stetig?

$$f(x,y) = \frac{x^3-y^3}{xy}$$ für $$x,y \neq 0$$ und $$f(x,y) = 0$$ für $$x,y = 0$$

Problem/Ansatz:

Kann ich hier mit Folgenstetigkeit rangehen oder geht das nur um die Unstetigkeit zu zeigen? Wäre die Alternative mit epsilon delta die einzige die es gibt? (Polarkoordinaten sollen nicht verwendet werden)

Comments

Kann ich hier mit Folgenstetigkeit rangehen

Jawohl, Stetigkeit kannst Du mit Folgen überprüfen.

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Aber es reicht im mehrdimensionalen doch nicht aus von zwei Seiten sich den Grenzwert anzusehen. Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich das vollständig beweisen kann?

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Um Stetigkeit in einem Punkt \((x_0,y_0)\) zu beweisen, musst Du alle Folgen   \((x_n,y_n) \to (x_0,y_0)\) untersuchen

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Aber gibt es nicht unendlich viele in diesem Fall Nullfolgen?

Answer 1

Aber wenn es nicht stetig ist, reicht ein Gegenbeispiel.

Ich denke mit  P_n = ((1/n)^2 , 1/n )  geht es.

Das geht für n gegen unendlich gegen (0,0) aber

f( P_n) geht gegen -1 ≠ f(0;0) .