Zeigen Sie: Für M,N⊆X gilt: f(M\N)⊇f(M)\f(N)

Question

Aufgabe:

Man betrachte zwei Mengen X,Y sowie eine Abbildung f: X -> Y

Zeigen Sie:

Für M,N⊆X gilt: f(M\N)⊇f(M)\f(N)

Problem/Ansatz:

Zunächst habe ich eine Falluntersuchung gemacht.

Fall 1: Wenn M∩N=∅, dann ist f(M\N)=f(M). Dann gilt offensichtlich, dass f(M)\f(N)⊆f(M) ist.

Fall 2: M⊆N. Dann gilt: f(M\N)=f(∅)=∅⊇f(M)\f(N)=∅  |f(∅) ist natürlich fragwürdig

Fall 3: M∩N≠∅.

Hier komme ich nicht ganz weiter. Mein Ansatz war, dass

f(M)\f(N)=[min{f(M)};max{f(M)}]\[min{f(N)};max{f(N)}].

Zu den Maxima und Minima gibt es ja Urbilder, woraus dann folgt:

[min{f(M)};max{f(M)}]\[min{f(N)};max{f(N)}]=[f(x_m);f(x_M)]\[f(x_n);f(x_N)]

Die Urbilder bilden ja wieder Intervalle, z.B. oE [x_m,x_M]\[x_n;x_N].

[x_m,x_M]⊆M und [x_n,x_N]⊆N .

Irgendwie hilft mir das nicht ganz. Und eigentlich ergibt diese Argumentation ja nur bei stetigen Funktionen Sinn. Gibt es eine sinnvollere Methode, das zu zeigen?

Comments

Dein erstes großes Problem ist, dass du versuchst mit Intervallen zu arbeiten.

X, Y sind doch nach Voraussetzung einfach nur Mengen, oder? Das könnte also jede beliebige Menge sein. Und da ergeben Intervalle nicht so viel Sinn. Z.B. für X = { Apfel, Birne, Kirsche } und Y = ℂ, wie sollten da Intervalle aussehen?

Arbeite einfach nah an der Definition:

Zz ist f(M)\f(N) ⊆ f(M\N).

D.h. du solltest zeigen, dass für alle y ∈ f(M)\f(N) auch y ∈ f(M\N) gilt. Das ist die Definition von Teilmengen.

Sei also y ∈ f(M)\f(N), d.h. y ∈ f(M) aber y ∉ f(N). Was heißt das?

y ∈ f(M) bedeutet, es existiert ein m∈M mit f(m) = y

y ∉ f(N) heißt...?