Beziehung zwischen zwei Koeffizienten f(x) = ax^4+bx^2+2

Question

und zwar habe ich eine Funktion gegeben f(x) ax hoch 4 + bx hoch 2 +2  (Schaubild k)

die erste Frage ist
welche Beziehung besteht zwischen a und b , wenn k durch den Punkt p (2/0) geht

ich versteh nicht genau was die mit beziehung meinen. :/

Comments

Was bitte schön ist k? Der Graph der Funktion?

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Sorry, bin neu hier ja genau die Funktion. :)

Answer 1

Hi

f(x) =  ax⁴ + bx² + 2
x = 2, y = 0

0 = 16a + 4b + 2
16a = -2  - 4b
a = -2/16 - 4/16 b
a = -1/8 -1/4 b

Ist z.B. a = -0.2 und b = 0.3, dann sieht der Graph so aus:

Wir kontrollieren, ob die Beziehung a = -1/8 -1/4 b stimmt.

a = -1/8 - 1/4 * 0.3

a = -0.2

Bingo!

:-)

Answer 2

Kein Grund sich zu entschuldigen :-)

 

f(x) = ax⁴ + bx² + 2

geht durch den Punkt (2|0).

Wir setzen die Koordinaten dieses Punktes in die gegebene Funktionsgleichung ein:

0 = a*2⁴ + b*2² + 2 = 16a + 4b + 2

Das kann man umschreiben zu

16a = - 4b - 2

oder auch zu

4b = - 16a - 2

 

Und jetzt kannst Du b durch a ausdrücken: b = - 4a - 0,5

oder auch a durch b: a = - 0,25b - 1/8

 

Sei zum Beispiel a = - 0,5, dann ist b = 1,5 | Dann würde die Funktion lauten f(x) = -0,5x⁴ + 1,5x² + 2

Sei zum Beispiel a = 1, dann ist b = -4,5 | Dann würde die Funktion lauten f(x) = x⁴ - 4,5x² + 2

Beide Funktionen sind 4. Grades, beide gehen durch (2|0) und (0|2), und trotzdem sehen sie ganz unterschiedlich aus:

 

Besten Gruß

Answer 3

Mit Beziehung ist hier eine Gleichung zwischen a und b gemeint, die angibt, wie a durch b oder auch b durch a dargestellt wird.

Eine solche Gleichung könnte etwa so aussehen:

a = 5 * b - 4

oder auch:

b = √ ( 7 a  ) + a + 5

 

Zu deiner Aufgabe:

Wenn das Schaubild (der Graph) von f ( x ) = a x ⁴ + b x ² + 2 durch den Punkt ( 2 | 0 ) gehen soll, dann muss also gelten:

f ( 2 ) = 0

Das gilt genau dann, wenn:

<=> a * 2 ⁴ + b * 2 ² + 2 = 0

<=> 16 a + 4 b = - 2

<=> 4 b = - 16 a - 2

<=> b = - 4 a - ( 1 / 2 )

... und das ist die gesuchte Beziehung.

Wenn also für die Parameter a und b in f ( x ) = a x ⁴ + b x ² + 2 die Beziehung

b = - 4 a - ( 1 / 2 )

gilt, dann geht der Graph von  f ( x ) durch den Punkt ( 2 | 0 )

Beispiel:

Sei a = 5 und b = - 4 * 5 - ( 1 / 2 ) = - 20,5
(sodass also die oben berechnete Beziehung zwischen a und b gilt).
Dann geht der Graph der Funktion

f ( x ) = 5 x ⁴ - 20,5 x ² + 2

durch den Punkt ( 2 | 0 ).

Gleiches gilt für den Graphen von

g ( x ) = - 2 x ⁴ + 7,5 x ²+ 2

da auch hier die Beziehung b = - 4 a - ( 1 / 2 ) gilt, denn 7,5 = - 4 * ( - 2 ) - ( 1 / 2 )

Hier zur "Kontrolle" die Graphen von f und g:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+-2x^4%2B7.5x^2%2B2+%2C+5x^4-20.5x^2%2B2+