Integral berechnen mit "Substitution der Variablen"?

Question

Berechne das Integral ∫ x/x^2-4x+10 dx mit der Methode "Substitution der Variablen".

Schreibe das Integral in der Form

∫ x/x^2-4x+10 dx = ∫ f(t) dt Ι _t=r(x)+ ∫ g(u) du Ι _u=s(x)

Gesucht sind:

r(x) =

f(t) =

s(x) =

g(u) =

∫ f(t) dt = 

∫ g(u) du =

∫ x/ x^2 -4x+10 dx =

 

Ich brauche hier Hilfe..Meine Rechnungen gehen nicht auf..

Comments

na.. auch Student der TU-Berlin?

Glückwunsch.. mit der Aufgabe tu ich mich auch schwer -.-

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  bitte einmal überprüfen ob eine Klammerung fehlt.

  x/x^2 könnte man durch 1/x ersetzen, was aber keinen Sinn macht.

  Soll es vielleicht x / ( x²-4x+10 ) heißen ?

  mfg Georg

Answer 1

Hi,

den Zähler kann man schreiben als

x = x-2+2 = (2x-4)/2 + 2

Damit kann man obiges nun splitten

∫ x/(x²-4x+10) dx = 1/2*∫ (2x-4)/(x²-4x+10) dx + ∫ 2/(x²-4x+10) dx

Der Vorteil beim ersten Summanden ist nun, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Das ist letztlich der Logarithmus, welcher zum Einsatz kommt.

Erster Summand:

1/2*∫ (2x-4)/(x²-4x+10) dx

1/2*ln(x^2-4x+10)

(Hier kann x^2-4x+10 = t substituiert werden)

Der zweite Summand ist da schon interessanter:

2 ∫ 1/(x²-4x+10) dx =  2∫ 1/(x-2)^2+6 dx =  2∫ 1/(s^2+6) ds

wobei s = (x-2)

Das nun auf die Form  ∫ 1/(1+u^2) bringen (euer Part), das entspricht dann dem arctan

--> √(2/3) ∫1/(1+r^2) dr

= √(2/3) arctan(r^2) = √(2/3)arctan((x-2)/√6) 

 

Nun beides addieren:

∫ x/(x²-4x+10) dx = 1/2*ln(x^2-4x+10) + √(2/3)arctan((x-2)/√6) + c

 

Die Zuordnungen, zu dem was gesucht ist, dürft ihr selbst vornehmen ;).

Grüße

Comments

Klammern in Zeile 5 vergessen?

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Klammern vergessen. C+P aus dem Ausgangspost genommen und hier editieren vergessen.


Ist korrigert. Danke :)