Für \( \alpha \in \mathbb{C} \) sei \( \underline{\alpha}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) definiert durch \( \underline{\alpha}(z):=\alpha \cdot z \)
a) Mit der Hermiteschen Form \( (,): \mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C},(z, w):=z \cdot \bar{w} \) ist \( \mathbb{C} \) ein unitärer Vektorraum. Bestimmen Sie alle \( \alpha \) für welche die Abbildung \( \underline{\alpha}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) unitär ist.
b) \( \mathbb{C} \) ist ein \( \mathbb{R} \) -Vektorraum auf dem mittels \( \beta: \mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}, \beta((c+i d, r+i s)):=c r+d s \), wobei \( c, d, r, s \in \mathbb{R} \), ein Skalarprodukt definiert ist. Somit ist \( (\mathbb{C}, \beta) \) ein euklidischer Vektorraum. Bestimmen Sie alle \( \alpha \in \mathbb{C} \) für welche die Abbildung \( \underline{\alpha}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) orthogonal ist.
