Wie orthonormalisiere ich die Basis {1, x, x^2} von P_2 bezüglich ( , ):=Integral…?

Question

Sei \( V \) der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum aller stetigen Funktionen \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) mit dem wie folgt definierten Skalarprodukt \( (,): V \times V \rightarrow \mathbb{R} \)

$$ (f, g):=\int \limits_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x $$

Sei \( \mathcal{P}_{2}:=\left\{f \in V: f(x):=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} \text { mit } a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}\right\} \) der Unterraum aller Polynomfunktionen vom Grad \( \leq 2 . \) Orthonormalisieren Sie die Basis \( 1, x, x^{2} \) von \( \mathcal{P}_{2} \) bezüglich \( (,) \).

Answer 1

Ich gehe nach dem bei Wikipedia beschriebenen Verfahren von Gram-Schmidt zur Orthogonalisierung vor, siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

Dabei wird die Basis

{ w₁ , w ₂ , w₃ } = { 1, x , x ² }

in eine Orthogonalbasis

{ v₁ , v ₂ , v₃ }

überführt:

$${ v }_{ 1 }={ w }_{ 1 }=1$$$${ v }_{ 2 }={ w }_{ 2 }-\frac { \left< { v }_{ 1, }{ w }_{ 2 } \right>  }{ \left< { v }_{ 1, }{ v }_{ 1 } \right>  } *{ { v }_{ 1 } }={ x }-\frac { \left( 1,x \right)  }{ \left( 1,1 \right)  } { { *1 } }$$$$=x-\frac { \int _{ 0 }^{ 1 }{ 1*xdx }  }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ 1*1dx }  } *1=x-\frac { 1 }{ 2 } *1$$$$=x-\frac { 1 }{ 2 }$$$${ v }_{ 3 }={ w }_{ 3 }-\frac { \left< { v }_{ 1, }{ w }_{ 3 } \right>  }{ \left< { v }_{ 1, }{ v }_{ 1 } \right>  } { { v }_{ 1 } }-\frac { \left< { v }_{ 2, }{ w }_{ 3 } \right>  }{ \left< { v }_{ 2, }{ v }_{ 2 } \right>  } { { v }_{ 2 } }$$$$={ x }^{ 2 }-\frac { (1,{ x }^{ 2 }) }{ (1,1) } *1-\frac { (x-\frac { 1 }{ 2 } ,{ x }^{ 2 }) }{ (x-\frac { 1 }{ 2 } ,x-\frac { 1 }{ 2 } ) } *(x-\frac { 1 }{ 2 } )$$$$={ x }^{ 2 }-\frac { \int _{ 0 }^{ 1 }{ 1*{ x }^{ 2 }dx }  }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ 1*1dx }  } *1-\frac { \int _{ 0 }^{ 1 }{ (x-\frac { 1 }{ 2 } )*{ x }^{ 2 }dx }  }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ (x-\frac { 1 }{ 2 } )(x-\frac { 1 }{ 2 } )dx }  } *(x-\frac { 1 }{ 2 } )$$$$={ x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } *1-1*(x-\frac { 1 }{ 2 } )$$$$={ x }^{ 2 }-x+\frac { 1 }{ 6 }$$

Die Berechnung der Integrale habe ich hier nicht dargestellt, da sie sehr einfach zu berechnen sind.

Die so erhaltenen Basisfunktionen 1 , x - ( 1 / 2 ) und x ² - x + ( 1 / 6 ) müssten nun noch normiert werden, um eine Orthonormalbasis zu erhalten. Wie man aber eine Basis eines Funktionenraumes normiert, da bin ich Moment leider überfragt ...

Comments

Ein Vektor wird normiert, indem man ihn mit dem Kehrwert dessen Länge multipliziert, also$$v_{\text{normiert}}=\frac1{||v||}\cdot v=\frac1{\sqrt{\langle v,v\rangle}}\cdot v=\frac1{\sqrt{\int_0^1v^2(x)\mathrm dx}}\cdot v.$$

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Ein Vektor wird normiert, indem man ihn mit dem Kehrwert dessen Länge multipliziert,

Nun, das ist mir schon klar.
Was mir nicht klar war: Was ist die "Länge" einer Funktion ...?

Nach deinem Hinweis fällt es mir jetzt aber wie Schuppen aus den Haaren ... :-)

Also: Vielen Dank dafür!

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Danke Leute :)
hab jetzt alles verstanden aber wie rechne ich das jetzt aus oder lasse ich das so stehen

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Standarddefiniton der durch ein Skalarprodukt induzierten Norm: $$||x||=\sqrt{} $$