Aufgabe:
Zeigen Sie dass <ui , uj> = |ui|2 δij , sodass die normierten Vektoren \overline{ui} = ui / \( \sqrt{<ui , ui>} \) eine orthonormale Basis bilden. Hinweis: Zeigen Sie, dass für jedes k gilt, dass <uk , uj> = 0 für j < k, sofern man annimmt, dass <um , uj> = 0 für alle m < k mit m ≠ j. Warum folgt daraus die Orthogonalität aller ui?
Problem/Ansatz:
Die erste Aussage die das Skalarprodukt mit Hilfe des Kronecker-Delta beschreibt ist für mich nachvollziehbar, da für nicht gleiche Indizes dieses ja null wird und diese orthogonal sind. Dies lässt sich dann auch für die Norm übernehmen. Ich verstehe nur nicht genau was mit dem zweiten Teil der Aufgabe gemeint ist. Wir nehmen ja an, dass wir schon eine Menge an Vektoren haben die orthogonal zu uj sind und sollen diese nun so ergänzen, dass wir eine orthogonale Basis haben?