Orthogonalität von Basisvektoren

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie dass <u_i , u_j> = |u_i|² δ_ij , sodass die normierten Vektoren \overline{u_i} = u_i / \( \sqrt{<u_i , u_i>} \) eine orthonormale Basis bilden. Hinweis: Zeigen Sie, dass für jedes k gilt, dass <u_k , u_j> = 0 für j < k, sofern man annimmt, dass <u_m , u_j> = 0 für alle m < k mit m ≠ j. Warum folgt daraus die Orthogonalität aller u_i?

Problem/Ansatz:

Die erste Aussage die das Skalarprodukt mit Hilfe des Kronecker-Delta beschreibt ist für mich nachvollziehbar, da für nicht gleiche Indizes dieses ja null wird und diese orthogonal sind. Dies lässt sich dann auch für die Norm übernehmen. Ich verstehe nur nicht genau was mit dem zweiten Teil der Aufgabe gemeint ist. Wir nehmen ja an, dass wir schon eine Menge an Vektoren haben die orthogonal zu u_j sind und sollen diese nun so ergänzen, dass wir eine orthogonale Basis haben?

Comments

Könnte es sein, dass es um konkrete Vektoren geht, die zuvor definiert worden sind?

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Nein es sind keine Vektoren definiert worden. Ich habe einfach nochmal die gesamte Aufgabe hier hochgeladen.

Text erkannt:

S Aufgabe 9 (8 Punkte): Gram-Schmidtsches Verfahren und Legendre-Polynome (3+5) Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist eine systematische Methode, um aus einer Basis \( \left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{n}\right\} \) eine orthogonale Basis \( \left\{\vec{u}_{1}, \ldots, \vec{u}_{n}\right\} \) zu erzeugen. Hierzu setzt man Schritt für Schritt
\( \begin{array}{l} \vec{u}_{1}=\vec{v}_{1}, \\ \vec{u}_{2}=\vec{v}_{2}-\frac{\vec{v}_{2} \cdot \vec{u}_{1}}{\vec{u}_{1} \cdot \vec{u}_{1}} \vec{u}_{1} \end{array} \)
\( \vdots \)
\( \vec{u}_{k}=\vec{v}_{k}-\sum \limits_{i=1}^{k-1} \frac{\vec{v}_{k} \cdot \vec{u}_{i}}{\overrightarrow{\vec{u}}_{i} \cdot \vec{u}_{i}} \vec{u}_{i} \)
(a) Zeigen Sie, dass \( \vec{u}_{i} \cdot \vec{u}_{j}=\left|\vec{u}_{i}\right|^{2} \delta_{i j} \), sodass die normierten Vektoren \( \hat{u}_{i}=\vec{u}_{i} / \sqrt{\vec{u}_{i} \cdot \vec{u}_{i}} \) eine orthonormale Basis bilden. Hinweis: Zeigen Sie, dass für jedes \( k \) gilt, dass \( \vec{u}_{k} \cdot \vec{u}_{j}=0 \) für \( j<k \), sofern man annimmt, dass \( \vec{u}_{m} \cdot \vec{u}_{j}=0 \) für alle \( m<k \) mit \( m \neq j \). Warum folgt daraus die Orthogonalität aller \( \vec{u}_{i} \) ?