Orthonormalbasis bestimmen

Question

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

 

Sei W⊆ℝ⁴ der Unterraum, der von u=(1,0,-1,2) und v=(2,0,2,-1) aufgespannt wird und sei W^⊥ der Orthogonalraum von W in ℝ⁴ bezüglich des kanonischen Skalarprodukts. Geben Sie eine Orthonormalbasis von W^⊥ an.

 

Mir ist nicht so ganz klar, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Muss ich hier jetzt das orthogonale Komplement berechnen oder muss ich die Basis mit dem Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt bestimmen? Wenn ich das orthogonale Komplement bestimmen muss, dann wäre dies ja nur orthogonal, nicht orthonormal. Wie müsste ich das dann orthonormalisieren?

Ich möchte nur wissen, wie ich hier vorgehen muss, also welches Verfahren ich hier anwenden muss. Bitte KEINE genaue Lösung. (Möchte die Aufageb als Prüfungsvorbereitung machen.)

 

Danke

Comments

Du brauchst hier 2 Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen und zudem senkrecht auf den beiden gegebenen Vektoren. Um deren Länge kannst du dich am Schluss noch kümmern, d.h. du kannst zu Beginn irgendeine Komponente eines der Vektoren 1 setzen (wenn die nicht aus irgendeinem Grund unbedingt 0 sein muss).
Senkrecht heisst: Skalarprodukt ist 0.

u=(1,0,-1,2) und v=(2,0,2,-1)

w=(0,1,0,0) steht auf jeden Fall mal senkrecht auf den gegebenen Vektoren.

Jetzt einen Ansatz für den andern Basisvektor noch setzen und die möglichen Gleichungen mit den Skalarprodukten aufstellen und auflösen. Zum Schluss noch die Länge anpassen.

Ob du mit deinen Sätzen um das Gleichungssystem rumkommst, kann ich nicht beurteilen.

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erst mal danke für deine Antwort. Ich verstehe allerdings nicht ganz, was du hier meinst:

Jetzt einen Ansatz für den andern Basisvektor noch setzen und die möglichen Gleichungen mit den Skalarprodukten aufstellen und auflösen.

Könntest du da bitte noch mal erklären? Danke

Answer 1

Du brauchst hier 2 Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen und zudem senkrecht auf den beiden gegebenen Vektoren. Um deren Länge kannst du dich am Schluss noch kümmern, d.h. du kannst zu Beginn irgendeine Komponente eines der Vektoren 1 setzen (wenn die nicht aus irgendeinem Grund unbedingt 0 sein muss).
Senkrecht heisst: Skalarprodukt ist 0.

u=(1,0,-1,2) und v=(2,0,2,-1)

w=(0,1,0,0) steht auf jeden Fall mal senkrecht auf den gegebenen Vektoren.

Jetzt einen Ansatz für den andern Basisvektor noch setzen und die möglichen Gleichungen mit den Skalarprodukten aufstellen und auflösen. 

Ansatz:

x=(1,a,b,c)

Gleichungen: Skalarprodukte=0

xw = 0 = a

xu = 0 = 1 + 0 - b + 2c

xv= 0 = 2 + o + 2b -c

-----------------------------

Also: a=0

b = 1-2c

einsetzen

0 = 2 + 2(1-2c) - c = 2 + 2 - 5c

5c = 4

c = 0.8

b = 1 -2*0.8 = -0.6

x = (1,0, -0.6, 0.8)

x und w bilden nun eine orthogonale Basis. 

Von orthogonal nach orthonormiert kommst du, indem du die Vektoren durch ihre Länge (Betrag) teilst.

Ob du mit deinen Sätzen um das Gleichungssystem rumkommst, kann ich nicht beurteilen.

Nachtrag zum Kommentar vorher: Zum Schluss noch die Länge anpassen.

Länge von w ist schon 1. ok.

Länge von x noch Anpassen

z = 1/√(1 + 0.8^2 + 0.6^2) (1 ; 0 ; -0.6; 0.8)

Skalar noch in die Komponenten reinmultiplizieren und nach euren vorschriften runden.

w,z ist eine Orthonormalbasis.

Comments

Inzwischen etwas ausführlicher. Keine Gewähr für die Rechnungen. Pass auf beim Abschreiben und melde allfällige Korrekturen.