Orthonormalen Vektor für Basis finden

Question

Ich habe die Vektoren \(u_1=\frac{1}{\sqrt {6} }\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, u_2=\frac{1}{3\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, u_3=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\), diese sind orthonormal. Ich will nun den vierten orthonormalen Vektor finden, sodass ich eine ONB habe. Da habe ich \(e_1\) als Vektor genommen, da dieser linear unabhängig von den anderen Vektoren ist.

Wenn ich das Gram-Schmidt-Verfahren durchführe, komme ich vor dem Normalisieren auf den Vektor \(u'_4=\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\), das kann jedoch nicht stimmen, da das Skalarprodukt von \(u_2\) und \(u'_4\) sicher nicht 0 ergibt.

Meine Rechnung ist: \(u'_4=e_1-(u_1.e_1)u_1-(u_2.e_1)u_2-(u_3.e_1)u_3\), also das ganz normale Gram-Schmidt-Verfahren.

Comments

Okay, hat sich erledigt.

Answer 1

-a + 2·b + c = 0
3·a + 2·b + c + 2·d = 0
a + c - 2·d = 0

Ich löse das LGS

a = - d/2 ∧ b = - 3/2·d ∧ c = 5/2·d

Also z.B. der Vektor 1/√35·[1, 3, -5]