Teilmenge, Funktion injektiv, surjektiv

Question

Sei f : X → Y eine Funktion zwischen zwei Mengen X und Y .

(a) Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge A ⊂ X
f(A^c) ⊂ f(A)^c
gilt, falls f injektiv ist.

(b) Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge A ⊂ X
f(A)^c ⊂ f(A^c)
gilt, falls f surjektiv ist.

(c) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion f und einer Teilmenge A ⊂ X, so dass weder
f(A^c) ⊂ f(A)^c noch f(A)^c ⊂ f(A^c)

Answer 1

(a) Sei \(A\subset X\). Sei \(y\in f\left(A^\complement\right)\). Begründe warum \(y\in f(A)^\complement\) ist. Verwende dabei die Eigenschaft, dass \(f\) injektiv ist.

(b) Sei \(A\subset X\). Sei \(y\in f(A)^\complement\). Begründe warum \(y\in f\left(A^\complement\right)\) ist. Verwende dabei die Eigenschaft, dass \(f\) surjektiv ist.

(c) Laut (a) und (b) darf \(f\) weder surjektiv noch injektiv sein. Solche Funktionen hast du in der Schule kennengelernt.

Answer 2

Sei f : X → Y eine Funktion zwischen zwei Mengen X und Y .
(a) Zeigen Sie, dass für jede Teilmenge A ⊂ X
f(Ac) ⊂ f(A)c
gilt, falls f injektiv ist.

a)  Sei y ∈ f(A^c). ==>  ∃x∈A^c mit f(x)=y .

==> x∈X ∧ x∉A

Da f injektiv ist, gibt es auch kein anderes Element

z∈X, dessen Bild gleich y ist. Einziges Urbild von y

ist also das x, das nicht in A ist.

==>  y ∈ f(A)^c  .