Wenn f injetktiv ist dann ist auch f|C injektiv.

Question

Aufgabe:

Sei f : A → B eine Funktion und C eine Teilmenge von A. Die Funktion f_|C : C → B ist definiert durch f_|C(x) = f(x) für alle x ∈ C. Man nennt f_|C die Einschränkung von f auf C. Zeigen oder widerlegen Sie.

Wenn f injektiv ist dann ist auch f|C injektiv.

Problem/Ansatz:

Dieser Aussage stimmt meiner Meinung nach, aber ich habe keine Konkrete Idee wie ich das beweisen soll.

Es muss ja gelten da jedes Element in C auch ein Element von A sein muss.

Und da wir wissen, dass die A-> B injektiv ist muss auch dann C->B injektiv sein.

DAnke schonmal im Vorhinein.

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion \(f:A\to B\) ist injektiv. Das bedeutet, dass jedes Element aus der Wertemenge (bzw. Zielmenge) \(B\) höchstens ein Mal getroffen wird, also kein Mal oder genau ein Mal. Wenn wir als Definitionsmenge nun eine Teilmenge \(C\subseteq A\) wählen, nehmen wir "Schützen" weg, sodass Ziele aus der Wertemenge \(B\), die bisher genau ein Mal getroffen wurden, nun nicht mehr getroffen werden. Da diese Ziele nun kein Mal getroffen werden, bleibt die Injektivität erhalten. Die Einschränkung von \(f\) auf \(C\) ist also auch injektiv.

Comments

Danke, für die Antwort. Das hilft mir sehr weiter.

Aber noch eine Frage:

Wenn ich jetzt sage f|C ist surjektiv, dann gilt f ist surjektiv.

Diese Aussage hält dann auch durch die gleichen Bedingungen wie in deiner antowrt nur halt wenn ich denn Bereich für die Definitionsmenge erweitere dann wird trotzdem alles im Zielbereich noch einmal getroffen oder?

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Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens(!) ein Mal getroffen wird. Wenn nun die Einschränkung \(f|C\) surjektiv ist, wird bereits jedes Ziel aus der Wertemenge mindestens ein Mal getroffen. Erweiterst du nun die Definitionsmenge von \(C\) auf \(A\), erhöhst du die Menge der "Schützen". Wenn die Wertemenge nicht auch vergrößert wird, können die neuen Schützen nur auf Elemente zielen, die eh schon getroffen werden, sodass \(f\) auch surjektiv ist. Da hast du also völlig recht.

Das gilt allerdings nicht mehr, wenn mit der Definitionsmenge auch die Wertemenge erweitert wird. Kommt auch nur ein Element zu der Wertemenge hinzu, kann es sein, dass keiner der neuen Schützen auf dieses neue Element zielt.