Beweisen Sie die Tautologie

Question

Seien F, G und H aussagenlogische Formeln. Beweisen Sie, dass wenn F → G eine
Tautologie ist und (H ∧ G) → F eine Tautologie ist, dann ist auch H → (F ↔ G)
eine Tautologie.

Zusätzlich dürfen Sie in dieser Aufgabe ohne Beweis auch
die folgenden Erkenntnisse voraussetzen.
(i) Die Konjunktion zweier Tautologien ist wieder eine Tautologie.
(ii) Die Disjunktion einer Tautologie und einer beliebigen Formel ist wieder eine Tautologie.

Kann ich die Aufgabe so lösen, das ich zeige, dass die Konjunktion der beiden angenommenen Tautologien äquivalent zu H → (F ↔ G) sind? Ist die Aufgabe damit gelöst?

Answer 1

Ja, damit wäre die Aufgabe gelöst.

Answer 2

Das kannst du so machen, wird aber wohl

eher knifflig. Besser rückwärts:

  H → (F ↔ G)
≡  H → ( (F → G)∧(G → F))

≡  ¬H  ∨   ( (F → G)∧(G → F))

≡  ( ¬H ∨  (F → G))   ∧  ( ¬H ∨    (G → F))

≡  ( ¬H ∨  (F → G))  ∧  ( ¬H ∨    ¬G ∨ F))  de Morgan !

≡  ( ¬H ∨  (F → G))  ∧  ( ¬ (H ∧ G)   ∨ F)) 

≡  ( ¬H ∨  (F → G))  ∧  (  (H ∧ G)  → F)   

Das ist die Konjunktion zweier Tautologien.

Die erste ist eine, weil Disjunktion von

¬H mit einer Tautologie

und die zweite ist ja vorausgesetzt.