Zeigen sie, dass der Untervektorraum ({f ∈ X|f(0) = 0},∥·∥∞) vollständig ist.

Question

Abend,

habe eine Frage zur einer Aufgabe zur Vollständigkeit und Supremumsnorm

Sei X := C([0, 1], R) versehen mit der Supremumsnorm ∥·∥∞. Wir bezeichnen die durch diese Norm induzierte Metrik mit d∞.
Zeigen sie, dass der Untervektorraum ({f ∈ X|f(0) = 0},∥·∥∞) vollständig ist.

Ich weiß nicht wie ich hier voran gehen soll.

Darf ich annehmen, dass es eine Cauchy Folge ist versehen mit Supremumsnorm aber weiter weiß ich nicht leider.

Danke im Voraus

Comments

Habt Ihr denn schon gezeigt, dass der ganze Raum X vollständig ist?

Answer 1

Sei \(\left(g_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Cauchyfolge über \(\{f \in X|f(0) = 0\}\).

Zeige dass es ein \(g\in \{f \in X|f(0) = 0\}\) gibt, so dass

        \(\forall \varepsilon > 0\ \exists N\in \mathbb{N}\ \forall n \geq N:\ d_\infty(g, f_n) < \varepsilon\)

gilt.