Konvergenz und Grenzwert bestimmen. ak=(1/2)^k, bk=(1/3)^k, 1/2 + 1/3 + 1/2^2 + 1/3^2+...

Question

Für k∈ℕ sei \( a_{k}=\left(\frac{1}{2}\right)^{k} \) und \( b_{k}=\left(\frac{1}{3}\right)^{k} \) sowie

\( c_{k}=\left\{\begin{array}{l}\frac{a_{k+1},}{2}, \text { falls } k \text { ungerade } \\ b_{\frac{k}{2}}, \text { falls } k \text { gerade }\end{array}\right. \)

Wir betrachten die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} c_{k}\left(=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots\right) \)

a)

Zeigen Sie, dass \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} C_{k} \) konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

b)

Zeigen Sie, dass die Grenzwerte \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \) und \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{\left|c_{k+1}\right|}{\left|c_{k}\right|} \) nicht existieren.

Bestimmen Sie weiter die Werte \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sup \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \) und \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{\left|c_{k+1}\right|}{\left|c_{k}\right|} \)

Comments

Bei b) stimmt etwas nicht 

^k√|a_k| = 1/2 konstant      

Daher ist (ak) konvergent gegen 1/2.

Answer 1

Konvergenz und Grenzwert bestimmen. ak=(1/2)^k, bk=(1/3)^k, 1/2 + 1/3 + 1/2² + 1/3²+...

Ich kann dir die Konvergenz von a) beweisen.

1/2 + 1/3 = 5/6

(1/2 + 1/3)^2 > 1/2^2 + 1/3^2

(1/2 + 1/3)^3 > 1/2^3 + 1/3^3

usw.

Die geometrische Reihe 

s= 5/6 + (5/6)^2 + (5/6)^3 + ... = 5/6 * 1/(1-5/6) = 5/6 * 6 = 5 ist eine Konvergente Majorante von c. Deshalb konvergiert a).

Da alle Summanden > 0, kann man die Summe auch genau berechnen:

c = 1/2 + 1/3 + 1/2² + 1/3²+... = 1/2 + 1/2^2 +... + 1/3 + 1/3^2 +… 

Summe 2er konvergenter GR

c = 1/2 * 1/(1-1/2) + 1/3*(1/(1-1/3)) = 1/2*2 + 1/3 * 3/2 = 1 + 1/2 = 1.5

Bitte sorgfältig nachrechnen und Vorzeichenfehler... melden.