Falls Ak/Bk -> c>0, so gilt: die Reihen sind absolut konvergent

Question

Aufgabe:

Es seien \( \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \) Folgen mit \( b_{k} \neq 0 \) für alle \( k \in \mathbb{N} \). Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.
a) Ist \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) konvergent, so ist auch \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k}^{2} \) konvergent.
b) Ist \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) absolut konvergent, so ist auch \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k}^{2} \) absolut konvergent.
c) Falls \( \frac{a_{k}}{b_{k}} \rightarrow c>0 \), so gilt: \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) absolut konvergent \( \Leftrightarrow \sum \limits_{k=1}^{\infty} b_{k} \) absolut konvergent

Problem/Ansatz:

A) und b) habe ich geschafft, aber für c) hab ich das Gefühl, dass es zu widerlegen ist, aber ich habe keine Ahnung wie man das beweisen sollte. Kann jemand dabei helfen?

Comments

Hoffentlich hast du bei a) herausbekommen, dass diese Aussage falsch ist.

Answer 1

(a) falsch

(b) wahr

(c) wahr

Da \(\frac{a_k}{b_k}\stackrel{k\to\infty}{\rightarrow}c>0\) gilt auch \(\frac{|a_k|}{|b_k|}\stackrel{k\to\infty}{\rightarrow}c>0\).

Also gibt es ein \(k_0\) so dass für all \(k\geq k_0\) gilt: $$\frac c2 < \frac{|a_k|}{|b_k|} < \frac 32 c$$

Also für \(k\geq k_0\):

$$\frac c2  |b_k|< |a_k| < \frac 32 c |b_k|\Rightarrow \frac c2\sum_{k=k_0}^{\infty}|b_k| <  \sum_{k=k_0}^{\infty}|a_k| <\frac 32 c \sum_{k=k_0}^{\infty}|b_k|$$

Somit folgt aus der absoluten Konvergenz der einen Serie die absolute Konvergenz der anderen.