Beweisen oder widerlegen Sie: Ist ∑∞k=1 ak konvergent und (bk) beschränkt, dann ist ∑∞k=1akbk konvergent.

Question

Aufgabe:

Seien (a_k) und (b_k) reelle oder komplexe Folgen. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) Ist ∑^∞_k=1 a_k konvergent und (b_k) beschränkt, dann ist ∑^∞_k=1a_kb_k konvergent.
(b) Ist ∑^∞_k=1 a_k absolut konvergent und (b_k) beschränkt, dann ist ∑^∞_k=1a_kb_k absolut konvergent.
(c) Falls (k²a_k) konvergent ist, dann ist ∑^∞_k=1a_k absolut konvergent.
(d) Falls a_k ≠ 0 und |a_k+1/(a_k)| < 1 für jedes k ∈ ℕ, dann ist ∑^∞_k=1 a_k konvergent.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz zu a) Wenn ∑^∞_k=1 a_k konvergent ist muss a_k beschränkt und Nullfolge sein. Wenn a_k und b_k beschränkt sind muss zwangsläufig a_k · b_k beschränkt und Nullfolge sein
Sei S obere Schranke und R untere Schranke von an, dann ist für alle a_i mit i ∈ ℕ: R ≤ a_i ≤ S
Sei T obere Schranke und Q untere Schranke von an, dann ist für alle b_i mit i ∈ ℕ: Q ≤ a_i ≤ T
Es folgt : RQ ≤ a_ib_i ≤ ST also ist ∑^∞_k=1a_kb_k beschränkt und Nullfolge.

Mein Ansatz zu b) Jede absolut konvergente Reihe ist unbedingt konvergent.
Definiert man wieder obere und untere Schranken für a_i und b_i wie in a) dann ergibt sich:
RQ ≤ a_ib_i ≤ ST also ist ∑^∞_k=1a_kb_k beschränkt und Nullfolge.

Mein Ansatz zu c) Ich hab das mal mit Widerspruch versucht:
Sei (k²a_k) nicht konvergent, dann gibt es keine obere und unteren Schranken mit R ≤ k²a_i ≤ S für alle k²a_i ∈ ℕ
R/k² ≤ a_i ≤ S/k²
Es ist R/k² !≤ a_i !≤ S/k² (!≤ = nicht kleiner gleich)
a_i ist demnach auch nicht beschränkt also auch nicht konvergent.
Jedoch muss ∑^∞_k=1a_k nach Voraussetzung konvergent sein, gilt aber nicht, da a_k unbeschränkt ist. Widerspruch.
Demnach muss die Aussage aus c) gelten.

Mein Ansatz zu d) Das ist ja nur das Quotienenkriterium
Der Beweis steht denke ich in Wikipedia

Stimmen meine Ansätze zu a),b) und c)? Wäre für Verbesserungsvorschläge und bessere Ideen dankbar.

Comments

Zu (a)  Versuch mal \(a_n=\frac{(-1)^n}n\) und \(b_n=(-1)^n\).

---

Achso ja stimmt. Das wäre ja dann ∑^∞_k=1 1/k, was ja die harmonische Reihe ist. Diese divergiert natürlich.

---

Könnte man b) auch widerlegen?
Ich habe mir dazu folgendes gedacht:
|a_i| hat wegen der absoluten Konvergenz und Nullfolge größte untere und kleinste obere Grenzen:
0 ≤ |a_i| ≤ S
b_i hat auch solche Grenzen (untere R und obere Q) aber b_i kann auch für bestimmte i ∈ ℕ < 0 werden. Multipliziert man also:
0 ≥ |a_i| · b_i ≥ SQ
|a_i| · b_i muss nicht für alle i ∈ ℕ 0 sein sondern sondern kann auch kleiner Null werden, also ist ∑^∞_k=1a_kb_k nicht absolut konvergent.

Wäre das nachvollziehbar?