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Aufgabe:

Es sei (ak) eine reelle Folge mit ak ≥ 0 für alle k ∈ N. Zeigen Sie:
k=1 ak konvergiert genau dann, wenn ∑k=1 ak /(1 + ak) konvergiert.


Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht genau wie man das zeigen soll. Meine Idee war es zuerst die Konvergenz ∑k=1 ak /(1 + ak) zu zeigen. Dies gilt ja nach dem Majorantenkriterium, weil bk := |ak/(1+ak)| < ak/(2+ak) := ck ist, wenn ∑k=1ck eine andere Reihe ist.
Dann fällt mir aber auch nichts weiteres dazu ein. Vielleicht geht das mit einem indirektem Beweis?
Wenn bk keine Nullfolge ist, dann divergiert ∑k=1 ak /(1 + ak) nach dem Trivialkriterium. Dann ist aber ak keine Nullfolge und ∑k=1 ak konvergiert daher nicht.
Stimmen die Ansätze? Falls nicht was wären vielleicht andere Ideen?

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Die eine Richtung hast du ja schon.

Nun die andere:

Sei \(b_k=\frac{a_k}{1+a_k}\) und die Reihe \(\sum b_k\) konvergent.

Dann ist - wie du bereits gesagt hast - \((b_k)\) eine Nullfolge.

Das heißt, dass \(b_k\lt 1/2\) für fast alle \(k\) ist,

woraus \(1-b_k\gt 1/2\) für fast alle \(k\) folgt oder

\(\frac{1}{1-b_k}\lt 2\).

Nun ist \(a_k=\frac{b_k}{1-b_k}\) für alle \(k\) mit \(b_k\neq1\),

d.h. für fast alle \(k\). Damit ist \(2\sum b_k\) eine konvergente

Majorante für \(\sum a_k\) für fast alle \(k\), und da es auf endlich

viele Reihenglieder nicht ankommt, schließen wir auf die

Konvergenz von \(\sum a_n\).

Avatar von 29 k

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