Die eine Richtung hast du ja schon.
Nun die andere:
Sei \(b_k=\frac{a_k}{1+a_k}\) und die Reihe \(\sum b_k\) konvergent.
Dann ist - wie du bereits gesagt hast - \((b_k)\) eine Nullfolge.
Das heißt, dass \(b_k\lt 1/2\) für fast alle \(k\) ist,
woraus \(1-b_k\gt 1/2\) für fast alle \(k\) folgt oder
\(\frac{1}{1-b_k}\lt 2\).
Nun ist \(a_k=\frac{b_k}{1-b_k}\) für alle \(k\) mit \(b_k\neq1\),
d.h. für fast alle \(k\). Damit ist \(2\sum b_k\) eine konvergente
Majorante für \(\sum a_k\) für fast alle \(k\), und da es auf endlich
viele Reihenglieder nicht ankommt, schließen wir auf die
Konvergenz von \(\sum a_n\).