Zeigen Sie: ∑∞k=1 ak konvergiert genau dann, wenn ∑∞k=1 ak /(1 + ak) konvergiert.

Question

Aufgabe:

Es sei (a_k) eine reelle Folge mit a_k ≥ 0 für alle k ∈ N. Zeigen Sie:
∑^∞_k=1 a_k konvergiert genau dann, wenn ∑^∞_k=1 a_k /(1 + a_k) konvergiert.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht genau wie man das zeigen soll. Meine Idee war es zuerst die Konvergenz ∑^∞_k=1 a_k /(1 + a_k) zu zeigen. Dies gilt ja nach dem Majorantenkriterium, weil b_k := |a_k/(1+a_k)| < a_k/(2+a_k) := c_k ist, wenn ∑^∞_k=1c_k eine andere Reihe ist.
Dann fällt mir aber auch nichts weiteres dazu ein. Vielleicht geht das mit einem indirektem Beweis?
Wenn b_k keine Nullfolge ist, dann divergiert ∑^∞_k=1 a_k /(1 + a_k) nach dem Trivialkriterium. Dann ist aber a_k keine Nullfolge und ∑^∞_k=1 a_k konvergiert daher nicht.
Stimmen die Ansätze? Falls nicht was wären vielleicht andere Ideen?

Answer 1

Die eine Richtung hast du ja schon.

Nun die andere:

Sei \(b_k=\frac{a_k}{1+a_k}\) und die Reihe \(\sum b_k\) konvergent.

Dann ist - wie du bereits gesagt hast - \((b_k)\) eine Nullfolge.

Das heißt, dass \(b_k\lt 1/2\) für fast alle \(k\) ist,

woraus \(1-b_k\gt 1/2\) für fast alle \(k\) folgt oder

\(\frac{1}{1-b_k}\lt 2\).

Nun ist \(a_k=\frac{b_k}{1-b_k}\) für alle \(k\) mit \(b_k\neq1\),

d.h. für fast alle \(k\). Damit ist \(2\sum b_k\) eine konvergente

Majorante für \(\sum a_k\) für fast alle \(k\), und da es auf endlich

viele Reihenglieder nicht ankommt, schließen wir auf die

Konvergenz von \(\sum a_n\).