Zeigen Sie, dass dann die Folge (ak) konvergiert.

Question

Aufgabe

Sei (a_k) k∈ℕ0 eine Folge reeller Zahlen derart, dass die Reihe ∑_k=0 (a_k+1 - a_k) konvergiert. Zeigen Sie, dass dann die Folge (a_k) konvergiert. Was können Sie über ihren Grenzwert aussagen?

Was ergibt sich speziell für die rekursiv definierte Folge a_k+1 = a_k + 3^-k , k ∈ ℕ0, mit gegebenen a₀ ∈ ℝ?

Problem/Ansatz:

Ich bekomme den Anfang einfach nicht hin und bin mit der Kombination aus Reihen und Folgen irgendwie überfordert…

Answer 1

Es ergibt sich$$s_n=\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}-\sum_{k=0}^{n-1}a_k=\sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=0}^{n-1}a_k=a_n-a_0$$Also$$\lim a_n=\lim s_n+a_0$$

und da \(\lim s_n\) existiert, existiert auch \(\lim a_n\).