Gebrochen-rationale Funktionen (Aufgaben zur Asymptote)

Question

hab einige Probleme bei der heutigen Hausaufgabe.

1. Zerlege die folgenden Funktionen mittels Polynomdivision und geben sie die Gleichungen ALLER Asymptoten an, wobei der Definitionsbereich maximal ist.


f(x) = (x^3-x+1)/(x^2-1)


Hier hab ich über die Polynomdivision rausbekommen: x+((1)/(x^2-1)) Wie muss ich jetzt weiter machen? Wenn ich limes gegen unendlich laufen lasse kommt ja ebenfalls unendlich raus, oder?


f(x) = (ax+1)/(x-1)→Ergebnis nach Polynomdivision: a+((a+1)/(x-1))


Hier hab ich absolut keine Ahnung, was ich machen soll. :S


2. Geben sie möglichst einfache Funktionsterme für gebrochen rationale Funktionen an, die genau die angegebenen Geraden als Asymptoten haben:


y=-2 und x=0 und x=2


Also y=-2 und x=2 bekomm ich immer recht leicht hin, aber wie schaff ich es, dass die Funktion auch x=0 als Asymptote hat?

Comments

  hier auch noch etwas handschriftliches von mir

  mfg Georg

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Vielen dank. Bei der 2. Funktion, also f(x) = (ax+1)/(x-1) hab ich dann die Asymptote x=1 und y=a, oder?


Edit: Hat sich geklärt.


Aber warum muss ich denn bei der ersten Funktion: f(x) = (x3-x+1)/(x2-1) beim limes nicht im ersten x auch unendlich "einsetzen"?

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Richtig, ich bin nicht auf alle deine Fragen eingegangen oder habe
alle Ergebnisse hingeschrieben. LU´s Antwort ist ausführlicher.

Für die 2Funktion gilt : senkrechte Asi x = 1 und horizontale Asi
y = a.

Bei Fragen wieder melden. Gebe gerne Auskunft.

mfg Georg

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Nochmal meine Frage: Aber warum muss ich denn bei der ersten Funktion: f(x) = (x3-x+1)/(x2-1) beim limes nicht im ersten x auch unendlich "einsetzen"?

Denn wenn ich doch für x als unendlich einsetze, also auch fürs x vor dem Bruch würde das Ergebnis doch auch unendlich werden, oder?

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  genau dieselben Schwierigkeiten/Überlegungen hatte ich beim
Erlernen der Bildung einer Asymptotengleichung auch.

  a.) mit Hilfe des Limes kann berechnet werden welcher Funktionswert
entsteht wenn sich x einem Grenzwert nähert z.B. lim x -> 3(+).

  In deiner Funktion wird der Funktionswert für x = ∞ auch f (∞) = ∞.

  oder

  b.) mit Hilfe des Limes kann auch eine Asymptoten-Funktion ermittelt
werden.  Deine Funktion besteht aus 2 Summanden. Der 2 Summand
wird bei größerwerdendem x immer kleiner und bei lim x->∞  null. Das
heißt deine Funktion nähert sich der Funktion A ( x ) = x an.

  Es geht also im 2.Fall nicht darum den Grenzwert der Funktion bei x -> ∞
zu finden, sondern darum die Asympthoten-Funktionen zu ermitteln.

  Bei Fragen wieder melden.

  mfg Georg

Answer 1

1. Zerlege die folgenden Funktionen mittels Polynomdivision und geben sie die Gleichungen ALLER Asymptoten an, wobei der Definitionsbereich maximal ist.


f(x) = (x³-x+1)/(x²-1)


Hier hab ich über die Polynomdivision rausbekommen:

f(x) = x+((1)/(x²-1))        (Annahme: Du hast richtig gerechnet)

Also: Die schräge Asymptote hat die Gleichung y=x.

Vertikale Asymptoten bei den Nullstellen des Nenners.

(x^2-1)=0

(x-1)(x+1)=0

Vertikale Asymptoten haben die Gleichungen: x=1 und x = -1

2. Geben sie möglichst einfache Funktionsterme für gebrochen rationale Funktionen an, die genau die angegebenen Geraden als Asymptoten haben:

y=-2 (horizontal) und x=0 (vertikal) und x=2 (vertikal)

f(x) = -2 + 1/(x(x-2))  


Also y=-2 und x=2 bekomm ich immer recht leicht hin, aber wie schaff ich es, dass die Funktion auch x=0 als Asymptote hat?

Du musst im Nenner den Faktor (x-0) als einfach x als Faktor drinn haben.