Ungleichung mit Betrag lösen

Question

Hallo, ich habe leider Probleme diese Ungleichung mit Betrag zu lösen. Wäre über jede Hilfe dankbar!

Bestimmen einen Bruch $\frac{q}{p}$ mit q, p ∈ N, p < 11.000 und

I ($\frac{q}{p}$)² - 3 I  < 10⁻⁸

Answer 1

Hallo,

mit der Einschränkung $q,\,p \in \mathbb N$ und $p \lt 11\,000$ ist das keine 'normale' Ungleichung.

Mit dem maximalen Nenner von $p=10999$ kommt man nicht zum Ziel$$\left|\left(\frac{19050}{10999}\right)^2-3\right| \approx |-2,6\cdot 10^{-4}| \gt 10^{-8} \\\left|\left(\frac{19051}{10999}\right)^2-3\right| \approx |5,45\cdot 10^{-5}| \gt 10^{-8}$$Besser man approximiert $\sqrt 3$ über einen Kettenbruch. Es ist $$\sqrt 3 \approx [1;\,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1] = \frac{18817}{10874} \\ \left|\left(\frac{18817}{10874}\right)^2-3\right| \approx |8,47\cdot 10^{-9}| \lt 10^{-8}$$Gruß Werner