Aloha :)
Du hast schon gute Vorarbeit geleistet. Ich habe auch die drei Eigenwerte:$$\lambda_1=2\quad;\quad\lambda_2=\lambda_3=3$$
Die beiden Eigenvektoren kann ich auch bestätigen:$$\vec v_1=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$$
Wir brauchen noch einen weiteren Eigenvektor zum Eigenwert \(3\). Dazu müssen wir folgendes Gleichungssystem lösten:
$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline1-3 & -2 & -3 & 0 &\\0 & 3-3 & 1 & 0 &\\1 & 1 & 4-3 & 0 &\\\hline-2 & -2 & -3 & 0 &+2\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 1 & 0 &\\1 & 1 & 1 & 0 &-\text{Zeile 2}\\\hline0 & 0 & -1 & 0 &+\text{Zeile 2}\\0 & 0 & 1 & 0 &\\1 & 1 & 0 & 0 &\\\hline0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\0 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow z=0\\1 & 1 & 0 & 0 &\Rightarrow x+y=0\end{array}$$Wir haben also zwei Forderungen an die Lösung, \(z=0\) und \(y=-x\), sodass:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-x\\0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$$
Das ist Pech. Der Eigenwert \(\lambda=3\) hat die algebraische Vielfachheit \(2\), aber die geometrische Vielfachheit \(1\), denn der Lösungsraum ist 1-dimensional. Daher ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
