Dreiecksmatrix invertierbar und Untergruppe?

Question

Aufgabe:

Wir sagen, dass eine quadratische Matrix A = (a_ij )_ij ∈ K^n×n
eine obere Dreiecksmatrix ist, wenn a_ij = 0 für i > j.
(a) Zeigen Sie, dass eine obere Dreiecksmatrix genau dann invertierbar ist, wenn a_ii ≠ 0 für alle i = 1, . . . , n.
(b) Zeigen Sie, dass die Menge der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen eine Untergruppe von GL(n, K) ist

Problem/Ansatz:

hat jemand für mich Ansätze bzw. lösungen. Meine Ideen:

Bei a muss ich erst die hin und dann die Rückrichtung beweisen oder? Wenn ja, wie mache ich das am besten?

bei b kann ich das Untergruppenkriterium verwenden ?

Answer 1

Hallo,

Zu Teilaufgabe a) kann ich dir gerne eine Lösungsskizze liefern - hierbei argumentiere ich mittels dem Kern von A:

Nach der Wahl einer Basis eines n-dimensionalen reellen Vektorraums V kann man A mit der zugehörigen linearen Abbildung identifizieren. Sei nun X ein Vektor und (x_1,x_2,...,x_n) seine Komponenten bzgl. der Basis. Folgende Implikation gilt:

A ist invertierbar <=> Kern A = {0}, wobei (0 = Nullvektor)

Richtung 1: Sei Produkt a_ii ≠ 0  (i=1,..,n)
Löse das lineare Gleichungssystem AX = 0 → aus der Voraussetztung folgt x1 = x2 = ... = xn = 0, d.h. Kern A = {0}, also A invertierbar.

Richtung 1: Sei A invertierbar. Zu zeigen: Produkt a_ii ≠ 0
A invertierbar, d.h. Kern A = {0} --> Annahme Kern A = {0} und Produkt a_ii = 0, woraus ein Widerspruch folgt, womit also das Produkt a_ii ≠ 0.

Answer 2

Berechne bei a) die Determinante der Matrix. Die Determinante einer Dreiecksmatrix lässt sich sehr leicht berechnen.

Bei b) zeigst du die Kriterien, korrekt.

Comments

geht das auch ohne Determinanten die haben wir in der Vorlesung noch nicht eingeführt?

---

Siehe dazu dann die andere Antwort.