Varianz bei Linearkombination von Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

Seien \( X \) und \( Y \) unabhängige Zufallsvariablen mit \( E[X]=-1 \) und \( V[X]=2 \) sowie mit \( E\left[Y^{n}\right]=\frac{2}{2+n} \) für \( n=0,1,2, \ldots \)

(iii) Bestimmen Sie \( V[3 X-Y] \).

Problem/Ansatz:

Die Lösung ist V[3X-Y]=18.056 und V[Y] = 0.056. Wie kommt man auf die 18.056 bei iii) ?

Answer 1

Aloha :)

$$E[XY^4]=E[X]\cdot E[Y^4]=-1\cdot\frac{2}{2+4}=-\frac13$$$$V[Y]=E(Y^2)-E^2(Y)=\frac{2}{2+2}-\left(\frac{2}{2+1}\right)^2=\frac12-\frac49=\frac{1}{18}=0,0\overline5\approx0,056$$$$V[3X-Y]=V[3X]+V[Y]=3^{\pink2}\cdot V[X]+V[Y]=9\cdot2+\frac{5}{18}=18,0\overline5\approx18,056$$Beachte das Quadrat bei \(3^{\pink2}\), es gilt nämlich:$$V[aX+bY]=a^{\pink2}\cdot V[X]+b^{\pink2}\cdot V[Y]\quad\text{falls \(X,Y\) unabhängig}$$

Answer 2

3² * 2 = 18

18 + 0,056 = 18,056

V[Y] = E[Y²] - (E[Y])²

Answer 3

Allgemein gilt für unabhängige ZV \(V[aX+bY]=a^2V[X]+b^2V[Y]\). Derartige Eigenschaften sollten aber in deinen Unterlagen zu finden sein.