Aufgabe:
Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[n]{5^n+11^n+42^n} \)
Problem/Ansatz:
Die Lösung der Aufgabe ist folgende:
Es gilt 42n ≤ 5n + 11n ≤ 42n ≤ 3 * 42n und mit der Monotonie der n-ten Wurzel auch
42 ≤ \( \sqrt[n]{5^n+11^n+42^n} \) ≤ 42 * \( \sqrt[n]{3} \) Da \( \sqrt[n]{3} \) gegen 1 konvergiert folgt nach dem Sandwich-Lemma:
\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[n]{5^n+11^n+42^n} \) = 42.
Nun zu meiner Frage:
Warum nimmt man als obere Grenze ausgerechnet ≤ 3 * 42n? Könnte ich hier nicht auch 42n ≤ 5n + 11n ≤ 42n ≤ 58n nehmen? Der Grenzwert wäre dann 58. Wäre vermutlich falsch?
