Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen der Kugeln?

Question

Aufgabe (Kombinatorik Stochastik Urnenmodell):

Seien 1 ≤ n ≤ N natürliche Zahlen. Eine Urne enthalte N mit den Zahlen 1 bis N nummerierte und ansonsten gleichartige Kugeln. Aus der Urne werde n-mal gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Ak, dass die höchste gezogene Nummer k ist für k = 1, 2, . . . , N, wenn wir

a) mit Zurücklegen ziehen und

b) ohne Zurückliegen ziehen?

Problem/Ansatz:

Für die a) sagt mein Wissen, dass wir Kombination mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge brauchen, weil die Kugeln nicht unterscheidbar sind und eine Kugel mehrmals gezogen wird.

Für die b) sagt mein Wissen Kombination ohne Zurücklegen

Also ich würde gerne wissen was man machen muss, ggf. binomischer Lehrsatz?

Comments

"nicht unterscheidbare Kugeln, die durchnummeriert sind..."

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die ansonsten gleichartige kugeln sind

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Vom Duplikat:

Titel: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis Ak eintrifft?

Stichworte: wahrscheinlichkeit,ereignisse,wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe:

wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A_{k eintrifft ?}

Problem/Ansatz:

seien 1≤n≤N natürlich Zahlen. Eine Urne enthalte N mit den Zahlen 1 bis N nummerierte und ansonsten gleichartige Kugeln. Aus der Urne werde n-mal gezogen. Wie groß  ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A_k, dass die höchste gezogene Nummer k ist fürk= 1,2, . . . , N, wenn wir

a) mit Zurücklegen ziehen

b) ohne Zurücklegen ziehen

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Und wieso kommt diese Aufgabe nun innert Stunden zum dritten Mal?

Answer 1

Ohne Zurücklegen zählt man Teilmengen mit dem Binomialkoeffizienten. Eine Menge mit n Elementen hat \(n\choose k\) \(k\)-elementige Teilmengen.

Mit Zurücklegen zählt man Folgen. Ist \(M\) eine \(n\)-elementige Menge, dann gibt es \(n^k\) Folen der Länge \(k\) über \(M\).

Comments

Könntest du mir das bitte etwas genauer erklären, bevor die Frage gelöscht wird?

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Eine Urne enthalte N mit den Zahlen 1 bis N nummerierte und ansonsten gleichartige Kugeln.

Bei n-maligem Ziehen gibt es \(N\choose n\) oder \(N^n\) gleichwahrscheinliche Ergebnisse.

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A_k, dass die höchste gezogene Nummer k ist

Mit Zurücklegen ist dann bei n-maligem Ziehen

        \(A_k = \{1,\dots,k\}^n\setminus \{1,\dots,k-1\}^n\).

Also \(\left|A_k\right| = k^{n}-(k-1)^n\).

Ohne Zurücklegen entsprechend.

Answer 2

Ein Beispiel:

P(A3) ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine der n gezogenen Kugeln größer als 3 ist UND dass mindestens eine der gezogenen Kugeln 3 ist.

Comments

verstehe aber wie gehe ich ran die aufgabe zu lösen

also am besten welche tools ich verwenden soll oder ich mich beschaftigen soll

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was ich herausgefundne habe, bei der a macht es sinn eher Permuation mit Wiederholung zu nehmen

Ω = PW(n,N)

Α_k = {(w1,..,wn) | {j:wj <= k+1} }

das wäre die menge die ich inuitiv herausbekommen habe

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welche tools ich verwenden soll

Eine Formelsammlung genügt durchaus. Es gibt ja etwa 5 hauptsächlich verwendete Formeln in der Kombinatorik. Die Aufgabe dreimal bei der Mathelounge einzustellen, bringt eher weniger. Ich würde stattdessen über die Antwort von Abakus nachdenken, die ist zielführender.

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ja ich weiß , hier würde eine eine permutation ohne wiederholung sein aber das problem ist, dass ich nicht weiß wie vorangehen soll.

mein ansatz wäre dass ich versuche das eriegnis in einer menge umzuschreiben

denke das liegt bestimmt daran weil meine komiltionen auch die aufgabe lösen wollen. Die Themen, die mit Stochastik zu tun haben sind von der Uni aber die La Aufgaben sind eher meinerseits.