Wurzeln des komplexen Polynoms f(z)=z^3+9jz^2−28z−32j bestimmen

Question

Aufgabe:

Das komplexe Polynom f(z)=z³+9jz²−28z−32j besitzt die Nullstelle z1 = - 4j.

Problem/Ansatz:

Hornerschema wurde noch nicht behandelt und die Benutzung eines TR ist erlaubt.

Answer 1

...die Benutzung eines TR ist erlaubt.

Okay:

Comments

Das geht ja sogar ohne CAS. Und ich probiere hier irgendwas mit cZeros...

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Das geht sogar ohne CAS, ohne GTR und ohne Polynomdivision...

Answer 2

Mache die Polynomdivision

(z³+9jz²−28z−32j):(z+4j).

Berechne daraus die übrigen Nullstellen aus dem sich ergebenden qaudratischen Term.

Answer 3

Das komplexe Polynom f(z)=z^3+9jz^2−28z−32j besitzt die Nullstelle z1 = - 4j

Polynomdivision:

(z^3+9jz^2−28z−32j):(z+4j)=z^2+5jz-8

-(z^3+4jz^2)

--------------------

      5jz^2−28z

    -(5jz^2-20*z)      weil 20j^2=-20

.............................

                -8z−32j

             -(-8z-32j)

.................................

                   0

z^2+5jz-8=0 |+8

z^2+5jz=8

(z+\( \frac{5}{2} \)j)^2=8+\( \frac{25}{4} \)j^2=8-\( \frac{25}{4} \)=\( \frac{7}{4} \)|\( \sqrt{} \)

1.)z+\( \frac{5}{2} \)j=\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{7} \)

z₂=-\( \frac{5}{2} \)j+\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{7} \)

2.)z+\( \frac{5}{2} \)j=-\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{7} \)

z₃=-\( \frac{5}{2} \)j-\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{7} \)