Aloha :)
Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms:$$p(z)=z^3-8z^2+22z-20$$
Wir suchen zuerst nach ganzzahligen Nullstellen. Solche Nullstellen müssen Teiler der Zahl ohne \(z\) sein. Die Teiler von \((-20)\) sind \((\pm1),(\pm2),(\pm4),(\pm5),(\pm10),(\pm20)\). Durch Einsetzen finden wir schnell die Nullstelle \(2\). Wir wissen daher, dass in \(p(z)\) der Linearfaktor \((z-2)\) enthalten sein muss.
Wir führen eine Polynomdivision durch$$(z^3-8z^2+22z-20)\div(z-2)=\pink{z^2}\green{-6z}\orange{+10}$$$$\;\pink{z^3-2z^2}$$$$\qquad\!-6z^2+22z-20$$$$\qquad\!\green{-6z^2+12z}$$$$\qquad\qquad\quad\;10z-20$$$$\qquad\qquad\quad\;\orange{10z-20}$$und finden die Darstellung:$$p(x)=(z-2)(z^2-6z+10)=(z-2)(\red{(z-3)^2}\green{+1})\stackrel{(i^2=-1)}{=}(z-2)(\red{(z-3)^2}\green{-i^2})$$
Mittels der dritten binomischen Formel zerlegen wir die den quadratischen Term in Linearfaktoren:$$p(x)=(z-2)(\red{(z-3)}+\green i)(\red{(z-3)}-\green i)$$$$p(x)=(z-2)(\,z-(3-i)\,)(\,z-(3+i)\,)$$
Daraus lesen wir die 3 Nullstellen ab:$$z_1=2\quad;\quad z_2=3-i\quad;\quad z_3=3+i$$
