Direkte Summen und lineare Abhängigkeit

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie:
a) \( \begin{pmatrix} 3\\5 \end{pmatrix} \) ⊗ \( \begin{pmatrix} 0\\3 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 5\\7 \end{pmatrix} \) ⊗ \( \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 11\\13 \end{pmatrix} \) ⊗ \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} 7\\11 \end{pmatrix} \) ⊗ \( \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix} \)

b) Wenn sowohl u1, u2, u3 ∈ Kⁿ als auch v1, v2, v3 ∈ K^m linear abhängig sind, dann sind auch
u1 ⊗ v1, u2 ⊗ v2, u3 ⊗ v3 ∈ Kⁿ ⊗ K^m linear abhängig.

c) Für alle u1, u2 ∈ Kⁿ und alle v ∈ K^m gilt (u1 + u2) ⊗ v = u1 ⊗ v + u2 ⊗ v

Problem/Ansatz:

Bei a) verstehe ich gar nicht, wie ich da anfangen soll, kann man mit direkten Summen rechnen? Bei b) hätte ich Linearkombinationen benutzt, kann man das so machen? und bei c) habe ich das gleiche Problem wie bei a), dass ich mir einfach nicht sicher bin, wie ich mit direkten Summen umgehen soll.

Comments

Spricht etwas dagegen, bei a) das auszurechnen was links vom Gleichheitszeichen steht und das was rechts davon steht?

\( \begin{pmatrix} 3\\5 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\\7 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 0 & 3\cdot 3 \\ 5\cdot 0 & 5\cdot 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\cdot 5 &5\cdot 1 \\7\cdot 5 & 7\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 & 14 \\ 35 & 22 \end{pmatrix} \)

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Genau das habe ich mich auch gefragt, es kommt mir nur viel zu leicht vor