Aufgabe zu Vektorräumen: lineare Abhängigkeit zeigen und linear unabhängige Teilmenge bestimmen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

a) Gegeben seien eine reelle Zahl \( t \in \mathbb{R} \) und die Vektoren
\( v_{1}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \\ t \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} t \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \)
in \( \mathbb{R}^{4} \). Bestimmen Sie eine maximale linear unabhängige Teilmenge von \( \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} \) und ergänzen Sie diese zu einer Basis von \( \mathbb{R}^{4} \).
b) Zeigen Sie, dass die Menge
\( \left\{3 X-X^{5}, 4 X+X^{3}, 5 X-X^{5}-X^{6}\right\} \)
in \( Q[X] \) linear unabhängig ist.
Erweitern Sie diese Menge zu einer Basis von \( \{f \in Q[X] \mid \operatorname{deg} f \leq 6\} \).

Problem/Ansatz:

Wie soll man das rechnen? Vorab vielen Dank für die Hilfe

Answer 1

hallo

1. a*v1+b*v2+c*v3=0 darf nur die Lösung a=b=c=0 haben

2. einen Weiteren finden  erst mal sehen, ob einer der Standardbasisvektoren unabhängig von den 3 ist,  sonst allgemein (x, y,z,w) ansetzen

b) wie a jetzt mit den Polynomen, dabei wissen ein Polynom  vom Grad 6 hat maximal 6 Nullstellen, die linearkombination muss für ALLE x 0 sein

c) du musst  insgesamt 7 haben, der erste der fehlt ist z.B. 1, ein zweiter x^2, ein dritter x^4, denn die kannst du ja sicher nicht aus den 3 konstruieren, fehlt noch einer!

Gruß lul