Was haltet ihr von der Methode, linear unabhängige Vektoren zu einer Basis zu ergänzen?

Question

z.B. sind 3 linear unabhängige Vektoren $$u_1, u_2, u_3 \in \mathbb{R}^4$$ gegeben und man soll diese zu einer Basis des R^4 ergänzen.

Man kann das ja jetzt als 4x4-Determinante schreiben, nur dass der eine Spaltenvektor unbekannt ist:
$$det(A)=
\begin{vmatrix}
2 &1  & -1 & x_1\\
0 & 0 &  2& x_2\\
 0& 2 &  1& x_3\\
 0&  0&  2& x_4
\end{vmatrix}
$$
Jetzt berechnet man die Determinante und kriegt dabei
$$det(A)=-8x_4 + 8x_2 \neq 0$$,
also ungleich 0, damit sie linear unabhängig sind. Als Ergebnis für (die Menge) aller Vektoren, die man zu den drei Vektoren ergänzen kann, damit sich eine Basis des R^4 ergibt, ist nun
$$\{ (x_1, x_2, x_3, x_4)~|x_i \in \mathbb{R}, x_2 \neq x_4 \}$$

z.B. $$(7,3,-2,2)$$ wäre solch ein Vektor.

Ich finde die Methode eigentlich gut, weil ich es sehr handlich finde, mit Determinanten zu rechnen. Da gibt es eben viele schöne Umformungsmöglichkeiten.

Was meint ihr?

Danke,

Thilo

Comments

Ich kanns ja mal verallgemeinern für n gegebene linear unabhängige Vektoren, die zu einer Basis des K^{n+1} ergänzt werden sollen. Vielleicht findet sich ja eine einfacher Regel :P

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Wenn mit einem Rechner gerechnet werden darf ist das sicher Praktikabel. Ansonsten ist denke ich der Rechenaufwand eine Determinante zu berechnen höher als der Aufwand das Ganze mit dem Gauss zu lösen oder? Vorteil für dich oben sind die vielen Nullen, sodass man perfekt die Determinante zur 1. Spalte bestimmen kann. Solche glücklichen Zufälle hat man aber nicht immer.

was obige Matrix angeht. Sortiere die Spalten und bringe sie gleich in die gewünschte Stufenform. Dann kannst du gleich x2 ≠ x4 ablesen ohne überhaupt etwas zu rechnen.

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Ja, das stimmt. Bei vielen Nullen ist es praktikabel, sonst könnte es aufwändig werden, vor allem bei noch größeren Matrizen, wobei im Studium wohl 5x5-Matrizen das Maximum sind.

xD ja, war wirklich ein einfaches Beispiel :P

Answer 1

Wie gesagt Rechnen Computer sehr häufig mit Determinanten.

So bestimmt denke ich mein Casio Taschenrechner die Lösung eines linearen Gleichungssystems über die Determinanten. Das ist zweckmäßig weil Taschenrechner nicht gut denken können und Schwierigkeit hätten das Gaußverfahren anzuwenden. Der Rechenaufwand über Determinanten ist zwar größer aber das ist bei elektronischen Rechnern vernachlässigbar.
Wenn man etwas von Hand löst ist das mit Determinanten oftmals zu aufwendig.
Ausnahme finde ich die Untersuchung auf Eigenwerte, wo ich auch oft die Determinante nehme. Oder Als Spatprotukt um den Rauminhalt eines Spats auszurechnen. Was ja eigentlich auch nur die Determinante ist.