Gegebene Vektoren zu einer Basis ergänzen

Question

Ich habe zwei Vektoren gegeben a= (1,3,-2) und b=(0,-1,2) Die Vektoren sind linear unabhägig voneinander. Jetzt soll ich noch eine Vektor finden, damit diese drei eine Basis vom R^3 bilden. Das heißt der dritte Vektor muss auch linear unabhängig von beiden Vektoren sein.

Ich habe im Internet auf allen möglichen Seiten gesucht, aber irgendwie nichts gefunden, was mir hilft.

Ich kann natürlich einfach das Vektorprodukt der beiden Vektoren berechnen um einen orthogonalen Vektor zu erhalten... aber ich will das auch anders lösen können, denn wenn die Vektoren nicht aus R^3 sind dann kann ich das Vektorprodukt ja nicht mehr benutzen.

Eine weitere Methode wäre, einen Vektor zu bilden der linear abhängig von den beiden ist, und dann eine Koordinate verändern. Aber ist dieser Vektor dann wirklich immer linear unabhängig? Und gibt es noch weitere Methoden um das möglichst leicht zu berechnen?

Und was mache ich wenn einfach eine Basis von einem Raum gesucht ist? Muss ich dann die Standardvektoren nehmen?

Answer 1

Du kannst ja auch allgemein a*v1 + b*v2 bilden, das gäbe hier

( a  ;  3a - b ; -2a + 2b ) .

Also, alle die von den beiden lin. abh. sind, sehen so aus.

Dann versuchen einen zu finden, der nicht so aussieht,

ist hier einfach:

Die erste Komponente ist jeden falls a.

Wenn du also anfängst mit ( 1 ;   ?   ;   ? )

hast du a=1 und damit ( 1 ;  3-b ;  -2 + 2b )

wenn der von beiden lin. abh. ist.

Also verschiedene Werte für b in beiden Komponenten

wählen etwa 0 und 1 dann hast du  ( 1 ; 3 ; 0 ) .

Der ist von den beiden lin. unabh.