Aufgabe:
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13.4 Sei \( V \) ein Vektorraum mit \( \operatorname{dim}(V)=n \) und \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \subseteq V \). Beweisen Sie, dass \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \) eine Basis von \( V \) ist, genau dann wenn zwei der folgenden Aussagen gelten:
(1) \( v_{1}, \ldots, v_{k} \) sind linear unabhängig.
(2) Es gilt \( V \subseteq\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle \).
(3) Es gilt \( k=n \).
(4 Punkte)
Problem/Ansatz:
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Aupgabe 13.4 Sä V VR mit dim \( (V)=n \) und \( \left\{v_{A}, \ldots, v_{n}\right\} \subseteq V \). Beweise, dan \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \) eive Basis von \( V \) ist g.d.w zweie des folgenden Aunagen gillen.
(1) \( v_{1}, \ldots, v_{k} \ell . u \).
(2) Es git \( v \underline{c}\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle \)
(3) Es gilt \( k=n \)
2.2. ist \( :(a) \) wemn \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \) Basis won \( V \), gelten die Eigenscliaften \( (1),(2),(3) \).
(b) wemn (1) and (2) \( g i\left(t\right. \), ist \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \) Basis von \( V \)
(c) wenn ( \( \left(\right. \) ) und (3) gitt, ist \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \) basis von \( V \)
(d) wenn (2) und (3) git, ist \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \) 3asis von \( V \)
(a) Sei \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \) aine Basis von \( V \), d.h nach Def. 2.22 eines Basis ist \( v_{1}, \ldots, v_{k} \ell . u \), d.h. es gilt funage \( (1) \) und und \( V=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle \),also \( \left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle \) eizeugt den gesamten \( V \)-VR sodan daraus folgt, dass \( V_{\underline{c}}\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle \) also Aunage (2) gilt.
Bleibt z.z. dan Aunage (3) folff, wenn \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \) ciue Basis ven \( V \) ist. Vach Definition de Dimension ist \( \operatorname{dim}(V) \operatorname{die} \) Anzahl de Vehtoren einer Basis, d.h. \( \operatorname{dim}(V): n \). Da \( \left\{v_{n}, \ldots, v_{k}\right\} \) aire Basis von \( V \) ist gilt \( \operatorname{dim}(V)=k \) (auffirund des indexes ian \( 1, \cdots, k \) ), wanach \( k=n \) getten mun, sodan auch Aunage 3 gilt.
(b) Seis \( v_{1}, \ldots, v_{k}, l \). u. and \( v \leqslant\left\langle v_{11}, \ldots, v_{k}\right\rangle \), d.h \( v_{11}, v_{k} \) ist eiu erzeugendes system won \( v \) und linear unablängis, dann folgt aus Jef. 2.2 .2 einer Basis, dan \( v_{1}, \ldots, v_{k} \) äne Basis wn \( v \) ist \( \checkmark \) ist
(c) Sei \( v_{1}, \ldots, v_{k} \) lu. und \( k=n \), darm ist \( v_{1}, \ldots, v_{2} \) eive línear unabhängise Henge sodan die and da dein \( (V) \) nach Def. die Anzalel de Vektoren eiver Basis fi \( V \) ist, ist \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \) eive Basis vonV.
(d) Sei \( V \leq\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle \) und \( k=n \), dann ist \( \left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle \) ein eczeugendes system von \( V \), sodan \( V=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle \) gilt und die 1. Eigenschaft für cine Zaris nach Def. 2.22 somit gitt. Weitshin ist nach Annahme \( \operatorname{dim}(V)=n \) und da \( k=n g \) ilt, ist \( \operatorname{dim}(V)=k \) und da \( \operatorname{dim}(V) \) nach Def. die Anzahl du Vektoren eiver Basis fü \( V \) ist, ist \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \) eine Basis von \( \Rightarrow \) Da sowbled alle Eigenschaften getten, wenn \( v_{1}, \ldots, v_{k} \) aive zasis von \( V \) ist und \( v_{1} \ldots v_{k} \) äne Basis von \( V \) wenn 2 des 3 Eigenschagten gelten, ist die Aunage bewéesen
Dies sind meine Lösungen zur obigen Aufgabe. Ist dieser Beweis so ausreichend . M7r scheinen die Argumente einfach zu trivial
