Bilden linear unabhängige Vektoren nicht immer eine Basis?

Question

Aufgabe:

Geben Sie Vektoren v₁ und v₂ an, so dass {v1, v2} eine Basis des reellen Vektorraums ℝ² ist und alle Einträge der Vektoren v1 und v2 ungleich 0 sind, genauer: ist v_i = (x,y), dann sind x und y ungleich 0.

v₁ = (   ,  )      v_{2 = (   ,  ).}

Ansatz:

Bilden linear unabhängige Vektoren nicht immer eine Basis? D.h. ich könnte z.B.

v1 = ( 2 , 2 )      v2 = ( 5 , 5 ) wählen und es wäre eine Basis des ℝ²?

Answer 1

Die Vektoren (1, 0, 0)^T und (0, 1, 0)^T sind offensichtlich linear unabhängig, sie bilden aber keine Basis. Basis heißt, dass die Vektoren linear unabhängig sind und den Raum aufspannen.

Zu deinem Beispiel:

v1 = ( 2 , 2 )      v2 = ( 5 , 5 )

die Vektoren sind linear abhängig, denn v2 = 2.5 * v1 = 2.5*(2, 2) = (5, 5)

Answer 2

v1 = ( 2 , 2 ) ; v2 = ( 5 , 5 ) geht nicht wei 5/2 * v1 = v2

Das könnte z.B. wie folgt aussehen.

v1 = (1 , 1)      v2 = (1 , 2).

Answer 3

Linear unabhängige Vektoren eines endlich-dimensionalen Raumes

bilden genau dann eine Basis, wenn ihre Anzahl gleich der Dimension

des Raumes ist.