Vorschrift einer Funktion angeben (2 Vektoren) IR2->IR3

Question

Aufgabe:

Vorschrift der Funktion angeben.

Problem:

Ich habe mir überlegt die Aufgabe so zu machen:

Man muss den Vektor finden, der die zwei Vektoren (1,0) und (0,1) verbindet. Das ist dann der Vektor (-1,1). Ich bin also auf folgende Vorschrift gekommen: y=(1-x,x). Ist das richtig?

Man soll dann auch das Bild und den Kern der Funktion bestimmen, deswegen ich es für mich wichtig, dass ich dies richtig habe.

Ich bedanke mich für alle Tipps/ Ratschläge!

Answer 1

Aloha :)

Die gesuchte Matrix \(\Gamma\) bildet von 2 Dimensionen auf 3 Dimensionen ab. Sie hat also 2 Spalten und 3 Zeilen:$$\Gamma=\begin{pmatrix}g_{11} & g_{12}\\g_{21} & g_{22}\\g_{31} & g_{32}\end{pmatrix}$$

Wenn wir diese Matrix mit den beiden Standard-Basisvektoren des \(\mathbb R^2\) multiplizieren, erhalten wir als Ergebnis die erste bzw. die zweite Spalte der Matrix:

$$\Gamma\binom{1}{0}=\begin{pmatrix}g_{11} & g_{12}\\g_{21} & g_{22}\\g_{31} & g_{32}\end{pmatrix}\binom{1}{0}=\begin{pmatrix}g_{11}\\g_{21}\\g_{31}\end{pmatrix}\quad;\quad\Gamma\binom{0}{1}=\begin{pmatrix}g_{11} & g_{12}\\g_{21} & g_{22}\\g_{31} & g_{32}\end{pmatrix}\binom{0}{1}=\begin{pmatrix}g_{12}\\g_{22}\\g_{32}\end{pmatrix}$$

Da wir die Ergebnisse dieser Multiplikation kennen, können wir \(\Gamma\) angeben:$$\Gamma=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}$$

Merke: Die Spalten der Transformationsmatrix sind die Bilder der Basis-Vektoren.

Comments

Danke, alles klar!

Die Matrix hat also auch keine Determinante - also auch keinen Kern. Injektiv ist sie auch nicht, weil der Kern nicht 0 ist, oder?

Answer 2

Hallo

das ist besonders einfach, da die Standard Basisvektoren Abgebildet werden

also hast du  Γ(1,0)=M*e1 und  entsprechend Γ(0,1)=M*e2

die Basisvektoren werden auf die Spalten der Matrix abgebildet, so einfach!

Gruß lul