Gesucht sind die Untervektorräume des IR'3.

Question

Aufgabe:

Geben Sie die Untervektorräume (UVR) des \(\mathbb{R}^3\) an. 

Untervektorraumaxiome:

(U1) u,w ∈ U ⇒ u+w ∈ U.
(U2) λ∈ℝ, u∈U ⇒ λu ∈ U


Vorgehen: 

Ich schaue, was überhaupt \(\mathbb{R}^3\) ist. 

Der Span von \(\mathbb{R}^3\) ist: $$ ⟨\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}⟩ = \mathbb{R}* \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \mathbb{R}* \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \mathbb{R}* \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = \mathbb{R}^3. $$

Was jetzt ? 
Ich denke mir eine Dimension weniger, also komme vom \(\mathbb{R}^3\) zu \(\mathbb{R}^2.\)

Doch was ist \(\mathbb{R}^2\) ?

$$ ⟨\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} ⟩ = \mathbb{R}* \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \mathbb{R}* \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}  = \mathbb{R}^2. $$
⇒ \(\mathbb{R}^2\) beschreibt die Ebene, bzw. Alle Punkte die in der Ebene liegen. 
⇒ (U1) Addition ist abgeschlossen. Da,  ℝ*e₁ + ℝ*e₂ = ℝ²
⇒(U2) Skalarmultiplikation ist abgeschlossen. Da λ*e2 ∈ ℝ²



Wie weiter ?
Ich gehe wieder eine Dimension weiter, weil ich vermute, dass auch \(\mathbb{R}\) ein UVR von \(\mathbb{R}^3\) ist. 

Doch was ist \(\mathbb{R}\) ?

$$ ⟨\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}⟩ = \mathbb{R}* \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \mathbb{R}. $$
⇒ \(\mathbb{R}\) beschreibt eine Gerade, bzw. Alle Punkte die auf der Gerad liegen. 
⇒ (U1) Addition ist abgelschlossen. Da ℝ*e₁ + ℝ*e₁= ℝ.
⇒(U2) Skalarmultiplikation ist abgeschlossen. Da λ*e₁ ∈ ℝ.

Antowort auf Aufgabe:

Untervektorräume (UVR) des \(\mathbb{R}^3\) sind: 

Triviale Unterräume: {0}, ℝ.
Aber auch: ℝ², ℝ.

Fragen: 
Ich habe so überlegt: Ich suche mir Teilmengen von  \(\mathbb{R}^3\) die wieder selbst Vektorräume sind. 

(1) Ist meine Antwort richtig ? 
(2) Kann ich sagen, dass wenn der  \(\mathbb{R}^3\) der VR ist und seine UVR gesucht sind, dass nebst den trivialen UVR'en es zusätzlich noch 2 weitere geben muss ?
Also wenn ich zum Beispiel UVR'e des  \(\mathbb{R}^n\) suche, weiss ich ja sofort, dass er zwei triviale UVR hat. Nebst den trivialen UVR muss der  \(\mathbb{R}^n\) noch zusätzlich \((n-1)\) Untervektorräume besitzen. 
Richtig ? 

Answer 1

Geben Sie die Untervektorräume (UVR) des ℝ³ an. 

Untervektorräume sind

1. die Menge, die nur aus dem Ursprung besteht,
2. Geraden, die durch den Ursprung verlaufen,
3. Ebenen, die durch den Ursprung verlaufen,
4. ℝ³

Ich denke mir eine Dimension weniger, also komme vom ℝ³ zu ℝ².

Du hast duch kürzlich schon festgestellt, dass ℝ² keine Teilmenge von ℝ³ ist. Dann kann ℝ² auch kein UVR von ℝ³ sein.

Ich suche mir Teilmengen von ℝ³ die wieder selbst Vektorräume sind.

Richtig.

Kann ich sagen, dass wenn der ℝ³ der VR ist und seine UVR gesucht sind, dass nebst den trivialen UVR'en es 2 weitere geben muss ?

Ja, das kannst du sagen. Und das ist sogar korrekt. Aber wahrscheibnlich nicht aus dem Grund, der dir vorschwebt. Es gibt nicht nur zwei weitere UVR, sondern unendlich viele.

Comments

Wow, ich sehe was du meinst, aber das muss ich erst mal absorbieren... 

Du hast duch kürzlich schon festgestellt, dass ℝ2 keine Teilmenge von ℝ3 ist. Dann kann ℝ2 auch kein UVR von ℝ3 sein.
Stimmt, ich suche Teilmengen aus R3 die selbst Vektorräume sind. 
Das bedeutet das Elemente aus dem R2 und insbesondere R2 selbst kein UVR sein kann da R2 keine Teilmenge von R3 ist. Right ? 

Was mache ich aber dann ? 

Ich weiss ja, dass es die trivialen gibt, es sind um genau zu sein der Nullraum und R3 selbst. 

Weiter muss es (3-1)=2 weitere Frage1: BASEN? für UVRe von R3 geben. 
Ich weiss dass es die Ebenen sind die durch den Ursprung gehen aber weiss, dass es R2 nicht ist, darum nehme ich einfach Elemente aus dem R3 deren eine Koordinate = Null ist, denn so bewege ich mich immernoch in R3 aber betrachte Elemente die nur auf einer Ebene liegen. 

Frage2: Kann ich sagen, dass eich für die Ebenen im Raum die durch null gehen, Elemente aus dem R3 nehme deren eine Koordinate konstant ist, statt zu sagen, dass eine Koordinate = 0 ist? Zb denke ich dass alle Elemente vom R3 mit (x , IR , IR ) statt ( 0 , IR , IR ) oder (IR , x , IR) statt (IR , 0 , IR) wobei x = konstant ist ebenfalls eine Ebene bilden. Analoge überlegung für alle Geraden die druch den Ursprung gehen.

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Elemente aus dem R3 nehme deren eine Koordinate konstant ist,

Wenn diese Konstante dann irgendeine andere Zahl als 0 ist, dann verläuft die Ebene nicht durch den Ursprung und ist somit kein Untervektorraum (sondern ein sogenannter affiner Unterraum).