Welche der folgenden Teilmengen sind Untervektorräume des R^3

Question

Welche der folgenden Teilmengen sind Untervektorräume des ℝ³

(i) {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ ∈ ℤ}   (ii) {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁x₂ = 0}    (iii) {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ - 5x₂ = 0}    (iv) {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | 2x₁ + 3x₂ = 1}

Answer 1

(i) {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ ∈ ℤ}    nein, wenn man etwa (1;1;1) mit 0,5 multipliziert
ist er nicht mehr drin.


  (ii) {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁x₂ = 0} nein, denn (0;1;1) ist drin und (1;0;1) ,
aber deren Summe nicht


   (iii) {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ - 5x₂ = 0} klappt

   (iv) {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | 2x₁ + 3x₂ = 1}  nein,  ( 1/2 ; 0 ; 0 ) ist drin
und  ( 0; 1/3 ; 0 )  aber deren Summe nicht.