Ableitungen, Tangens; was ist falsch gemacht?

Question

Zur folgenden Aufgabe:

Text erkannt:

e) \( f(x)=\frac{1}{1+\tan (x)} \)

Habe ich diesen Lösungsweg:

Text erkannt:

e) \( \frac{1}{1+\tan (x)}+\frac{n}{+r} \)
\( u^{\prime}=0 \)
\( v^{\prime}=1+\tan ^{2}(x) \)
\( \frac{u^{\prime} \cdot v-u \cdot v^{1}}{v^{2}}=\frac{0 \cdot v-1 \cdot 1+\tan ^{2}(x)}{1+\operatorname{ton}^{2}(x)} \)
\( =\frac{1}{1+\tan ^{2}(x)} \cdot 1 \)

Laut Lösung kommt aber -1/(1 + sin(2x))

raus. Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Aloha :)

Deine Lösung ist fast richtig. Du musst bei der Quotientenregel aber den gesamten Nenner quadrieren:

$$\left(\frac{\overbrace{1}^{u}}{\underbrace{1+\tan x}_{v}}\right)'=\frac{\overbrace{0}^{u'}\cdot(\overbrace{1+\tan x}^{v})-\overbrace{1}^{u}\cdot\overbrace{(1+\tan^2 x)}^{v'}}{\underbrace{(1+\tan x)^2}_{v^2}}=-\frac{1+\tan^2x}{(1+\tan x)^2}$$Das kann man noch etwas vereinfachen:$$=-\frac{1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}{\left(1+\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2}=-\frac{\cos^2x\left(1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\right)}{\cos^2x\left(1+\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2}=-\frac{\cos^2x+\sin^2x}{(\cos x+\sin x)^2}$$$$=-\frac{1}{1+2\sin x\cos x}=-\frac{1}{1+\sin(2x)}$$

Answer 2

\( f(x)=\dfrac{1}{1+\tan (x)}= \dfrac{\cos(x)}{\cos(x)+\sin(x)}\)

\( f'(x)= \dfrac{-\sin x(\cos x+\sin x)-\cos x(-\sin x+\cos x)}{(\cos x+\sin x)^2}\)

\( f'(x)= \dfrac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\cos^2 x+2\sin x \cos x +\sin^2 x}\)

\( f'(x)= \dfrac{-1}{1+2\sin x\cos x}\)

\( f'(x)= \dfrac{-1}{1+\sin 2x}\)