Hallo,
man definiert den Hauptzweig des komplexen Logarithmus oft so:
$$\log(z):=\ln(|z|)+\arg(z)i$$
Dabei bezeichnet arg den Winkel von z, und zwar im Bereich \((-\pi, \pi]\).
Demnach ist$$\log(1+i)=\ln(\sqrt{2})+0.25 \pi i $$
$$\log((1+i)^2)=\log(2i)=\ln(2)+0.5 \pi i$$
Der Punkt bei der Aufgabe ist, dass dies nach den Regeln für den reellen Logarithmus zu erwarten war. Wenn ich jetzt raten soll, wird die 2. Gleichung nicht gelten - aber rechne das mal nach.
Bei den anderen Aufgaben benutzt man im Komplexen die Definition, wieder mit dem Hauptwert des Logarithmus
$$w^z:=\exp(z \log(w))$$
Bei b) wäre dann
$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right)^z=\exp(z\log(\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)))$$
$$=\exp(0.25 \pi z)=\exp(0.25 \pi x+0.25 \pi yi)= 5 =\exp(\ln(5))=\exp(\ln(5)+2k\pi i)$$
( mit ganzzahligem k). Durch Vergleich erhält man x und y.
Gruß Mathhilf
