Hauptzweig des komplexen Logarithmus

Question

Aufgabe:

Verwenden Sie in der folgenden Aufgabe den Hauptzweig des komplexen Logarithmus log0:=log.
a) Gelten die Gleichungen 2 log(1+i) = log(1+i)² und log(i)+log(−1+i) = log(i(−1+i))?
b) Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ C der Gleichung (2^(−1/2) * (1 + i))^z= 5.
c) Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ C der Gleichung zⁱ = 4

Comments

Auch hier ist es sinnvoll, wenn Du mal Eure Definition des Hauptzweigs hierhin schreibst, damit wir über die Bezeichnungen einig sind.

Für a) wäre die Frage, ob Du die Argumente von 1+i, (1+i)²,-^+i, i(-1+i) bestimmen kannst.

Gruß Mathhilf

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Ich habe die gleichen Aufgaben, kann aber zum Hauptzweig nichts in unserem Skript finden.

Wir sollten die Argumente bestimmen können ist ja Höhere Mathematik 1 und die Aufgaben jetzt sind HM3. also arg(1+i) = pi/4 bspw. Wie gehts weiter?

Answer 1

Hallo,

man definiert den Hauptzweig des komplexen Logarithmus oft so:

$$\log(z):=\ln(|z|)+\arg(z)i$$

Dabei bezeichnet arg den Winkel von z, und zwar im Bereich $(-\pi, \pi]$.

Demnach ist$$\log(1+i)=\ln(\sqrt{2})+0.25 \pi i$$

$$\log((1+i)^2)=\log(2i)=\ln(2)+0.5 \pi i$$

Der Punkt bei der Aufgabe ist, dass dies nach den Regeln für den reellen Logarithmus zu erwarten war. Wenn ich jetzt raten soll, wird die 2. Gleichung nicht gelten - aber rechne das mal nach.

Bei den anderen Aufgaben benutzt man im Komplexen die Definition, wieder mit dem Hauptwert des Logarithmus

$$w^z:=\exp(z \log(w))$$

Bei b) wäre dann

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right)^z=\exp(z\log(\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)))$$

$$=\exp(0.25 \pi z)=\exp(0.25 \pi x+0.25 \pi yi)= 5 =\exp(\ln(5))=\exp(\ln(5)+2k\pi i)$$

( mit ganzzahligem k). Durch Vergleich erhält man x und y.

Gruß Mathhilf

Comments

Ist 2* log(√2) nicht = log(2) und 2*(pi/4) ist doch 0,5*pi warum sind ist die erste Gleichung laut wolframalpha dann falsch?

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Was hast Du gemacht, im das zu prüfen? Was genau sagt Walpha?

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Hab die Gleichung Genaus so eingegeben und es kam false raus. Dann habe ich sie nochmal mit den berechneten werten also 2*(ln(√2) + 0,25*pi*i) = ln(2) + 0,5*pi*i eingegeben immer noch false. 2(0,25*pi*i) sollte doch 0,5 sein und 2*ln(√2) = ln(2) oder?

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Bei mir kommt in beiden Fällen "TRUE" heraus. Du musst einen Fehler bei der Eingabe machen, vielleicht Klammern?