Man bestimme das Doppelintegral dieser Funktion über dem Einheitskreis

Question

Aufgabe Integrale:

(b) Man skizziere die Funktion \( r \mapsto 1 / r-1 \) im Bereich \( 0<r<1 \)

Ausgedrückt in Polarkoordinaten \( r, \varphi \) sei die Funktion

$$ z=f(r, \varphi)=1 / r-1 $$

gegeben (deren Wert vom Winkel \( \varphi \) also gar nicht abhängt).

Man bestimme (ebenfalls in Polarkoordinaten, vgl. Skript S. 5/12) das Doppelintegral dieser Funktion über dem Einheitskreis \( E K: 0 \leq r \leq 1,0 \leq \varphi \leq 2 \pi \), also

$$ \iint_{E K}(1 / r-1) d F= $$

Bin mir unsicher ob ich soweit alles korrekt gemacht habe, ich bin bei Log stehen geblieben und weiß nicht weiter.

Answer 1

Du hast die falsche Funktion verwendet, nämlich:$$z=f(r,\varphi )=\frac { 1 }{ r-1 }$$In den von dir fotografierten und gezeigten Unterlagen heißt es jedoch, man soll über die Funktion$$z=f(r,\varphi )=\frac { 1 }{ r } -1$$integrieren.

Und das geht z.B. so:

$$\int _{ r=0 }^{ 1 }{ \int _{ \varphi =0 }^{ 2\pi  }{ \left( \frac { 1 }{ r } -1 \right) r } d\varphi dr }$$$$=\int _{ r=0 }^{ 1 }{ \int _{ \varphi =0 }^{ 2\pi  }{ \left( 1-r \right)  } d\varphi dr }$$$$=\int _{ r=0 }^{ 1 }{ { \left[ (1-r)\varphi  \right]  }_{ \varphi =0 }^{ 2\pi  }dr }$$$$=\int _{ r=0 }^{ 1 }{ \left( 2\pi -2\pi r \right) dr }$$$$=2\pi \int _{ r=0 }^{ 1 }{ 1-rdr }$$$$=2\pi { \left[ r-\frac { { r }^{ 2 } }{ 2 }  \right]  }_{ 0 }^{ 1 }$$$$=2\pi \frac { 1 }{ 2 }$$$$=\pi$$

Answer 2

Hallo

Tipp: Punkt- vor Strichrechnung!
Du schreibst 1/(r-1) im Skript steht aber 1/r - 1

Answer 3

Ich würde sagen, die Funktion lautet  f(r;φ) = 1/r -1 und nicht 1/(r-1).

Daher ist das Integral:

∫(φ=0..2π) ∫(r=0..1) (1/r -1) * r drdφ

Das vereinfacht sich zu:

= ∫(φ=0..2π) ∫(r=0..1) (1 - r) drdφ

Dies lässt sich recht leicht ermitteln:

= ∫(φ=0..2π) [(r - r²/2)]₀¹ dφ

= ∫(φ=0..2π) (1 - 1/2) dφ

= 1/2 ∫(φ=0..2π) 1 dφ

= 1/2 [φ]₀^2π

= π