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Aufgabe Integrale:

(b) Man skizziere die Funktion r1/r1 r \mapsto 1 / r-1 im Bereich 0<r<1 0<r<1

Ausgedrückt in Polarkoordinaten r,φ r, \varphi sei die Funktion

z=f(r,φ)=1/r1 z=f(r, \varphi)=1 / r-1

gegeben (deren Wert vom Winkel φ \varphi also gar nicht abhängt).

Man bestimme (ebenfalls in Polarkoordinaten, vgl. Skript S. 5/12) das Doppelintegral dieser Funktion über dem Einheitskreis EK : 0r1,0φ2π E K: 0 \leq r \leq 1,0 \leq \varphi \leq 2 \pi , also

EK(1/r1)dF= \iint_{E K}(1 / r-1) d F=



Su

Bin mir unsicher ob ich soweit alles korrekt gemacht habe, ich bin bei Log stehen geblieben und weiß nicht weiter.

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Du hast die falsche Funktion verwendet, nämlich:z=f(r,φ)=1r1z=f(r,\varphi )=\frac { 1 }{ r-1 }In den von dir fotografierten und gezeigten Unterlagen heißt es jedoch, man soll über die Funktionz=f(r,φ)=1r1z=f(r,\varphi )=\frac { 1 }{ r } -1integrieren.

Und das geht z.B. so:

r=01φ=02π(1r1)rdφdr\int _{ r=0 }^{ 1 }{ \int _{ \varphi =0 }^{ 2\pi }{ \left( \frac { 1 }{ r } -1 \right) r } d\varphi dr }=r=01φ=02π(1r)dφdr=\int _{ r=0 }^{ 1 }{ \int _{ \varphi =0 }^{ 2\pi }{ \left( 1-r \right) } d\varphi dr }=r=01[(1r)φ]φ=02πdr=\int _{ r=0 }^{ 1 }{ { \left[ (1-r)\varphi \right] }_{ \varphi =0 }^{ 2\pi }dr }=r=01(2π2πr)dr=\int _{ r=0 }^{ 1 }{ \left( 2\pi -2\pi r \right) dr }=2πr=011rdr=2\pi \int _{ r=0 }^{ 1 }{ 1-rdr }=2π[rr22]01=2\pi { \left[ r-\frac { { r }^{ 2 } }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ 1 }=2π12=2\pi \frac { 1 }{ 2 }=π=\pi
Avatar von 32 k
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Hallo

Tipp: Punkt- vor Strichrechnung!
Du schreibst 1/(r-1) im Skript steht aber 1/r - 1
Avatar von 11 k
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Ich würde sagen, die Funktion lautet  f(r;φ) = 1/r -1 und nicht 1/(r-1).

Daher ist das Integral:

∫(φ=0..2π) ∫(r=0..1) (1/r -1) * r drdφ

Das vereinfacht sich zu:

= ∫(φ=0..2π) ∫(r=0..1) (1 - r) drdφ

Dies lässt sich recht leicht ermitteln:

= ∫(φ=0..2π) [(r - r2/2)]01

= ∫(φ=0..2π) (1 - 1/2) dφ

= 1/2 ∫(φ=0..2π) 1 dφ

= 1/2 [φ]02π

= π

Avatar von 3,2 k

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