Wie kann ich von diesem Integral die ersten beiden Ableitungen bilden?

Question

\( J_{n}(x):=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \cos (x \sin (t)-n t) \mathrm{d} t \)

Wie kann ich von diesem Integral die ersten beiden Ableitungen bilden?

Comments

Nach x oder nach t?

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Nach x oder nach t?

Die Frage ist aquivalent zu "Nach x oder nach y?"

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nach x soll abgeleitet werden

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Das CAS liefert:

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Das deutet wohl auf einen Bug hin.

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@ Gast hj2166: Eine Erklärung würde mich interessieren.

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Da die angegebenen Lösungen sich auf die Ableitung der Intgrandenfunktion beschränken (müssen) ohne das Integral anschließend zu berechnen (zu können), habe ich die Möglichkeit eines Fehlers in der Aufgabenstellung erwogen.

Answer 1

Aloha :)

$$J_n(x)=\frac1\pi\int\limits_0^\pi\cos\left(x\sin t-nt\right)dt$$$$J'_n(x)=\frac1\pi\int\limits_0^\pi\frac{\partial}{\partial x}\cos\left(x\sin t-nt\right)dt=-\frac1\pi\int\limits_0^\pi\sin\left(x\sin t-nt\right)\sin t\,dt$$$$J''_n(x)=-\frac1\pi\int\limits_0^\pi\frac{\partial}{\partial x}\sin\left(x\sin t-nt\right)\sin t\,dt=-\frac1\pi\int\limits_0^\pi\cos\left(x\sin t-nt\right)\sin^2t\,dt$$