Wie lauten die ersten beiden Ableitungen der Formel?

Question

Aufgabe:

Die Formel lautet:

Text erkannt:

$f(x)=\sqrt{x^{2}+16} \cdot 11000+(10-x) \cdot 7000$
$f^{\prime}(x)=$
$f^{\prime \prime}(x)=$

Problem/Ansatz:

Wie lauten die ersten beiden Ableitungen der Formel?

Comments

Hallo, wenn dir nur an dem Ergebnis gelegen ist, verwende einen Ableitungsrechner.

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Ich würde es begrüßen, wenn mir jemand die Funktion schriftlich und nachvollziehbar zwei Mal ableitet.

Ableitungen von ganzrationalen Funktionen ohne Wurzel sind mir klar. Aber ich bitte darum, Rücksicht auf Papiermenschen zu nehmen. Ich möchte das hochgeladene Bild ergänzt haben. Das hilft mir, die Mathematik dahinter zu verstehen.

Ich weiss nicht, wie ich eine Kombination von x² und 16 unter der Wurzel ableiten muss. Fällt die Zahl 16 weg, da sie kein Faktor von x ist oder muss ich die 16 raus nehmen, da sie kein Faktor von x ist?

Biiiite ich brauche einfach nur das Bild um die erste und zweite Ableitung ergänzt!

Mfg.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die gegebene Funktion$$f(x)=\sqrt{x^2+16}\cdot11000+(10-x)\cdot7000$$schreiben wir vor dem Ableiten etwas um:$$f(x)=(x^2+16)^\frac12\cdot11000+70000-7000x$$

Nun bilden wir die erste Ableitung mit Hilfe der Kettenregel:$$f'(x)=\underbrace{\frac12(x^2+16)^{-\frac12}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{2x}_{\text{innere Abl.}}\cdot11000-7000$$$$\phantom{f'(x)}=(x^2+16)^{-\frac12}\cdot x\cdot11000-7000$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{11000\,x}{\sqrt{x^2+16}}-7000$$

Die zweite Ableitung funktioniert mit Produkt und mit Kettenregel:$$f''(x)=\left(\underbrace{(x^2+16)^{-\frac12}}_{=u}\cdot\underbrace{x}_{=v}\cdot11000-7000\right)'$$$$\phantom{f''(x)}=\underbrace{\overbrace{-\frac12(x^2+16)^{-\frac32}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{2x}^{\text{innere Abl.}}}_{=u'}\cdot\underbrace{x}_{=v}\cdot11000+\underbrace{(x^2+16)^{-\frac12}}_{=u}\cdot\underbrace{1}_{=v'}\cdot11000$$$$\phantom{f''(x)}=-\frac{x^2}{(x^2+16)^{\frac32}}\cdot11000+\frac{1}{(x^2+16)^\frac12}\cdot11000$$$$\phantom{f''(x)}=\frac{11000}{(x^2+16)^\frac32}\cdot\left(-x^2+x^2+16\right)=\frac{176000}{(x^2+16)^\frac32}$$

Comments

Vielen dank! Hat klick gemacht! =)

PS: Mein Mathedozent ist ***** XD

Answer 2

Hallo,

$f(x)=11000\sqrt{x^2+16}+7000(10-x)\\ =11000\sqrt{x^2+16}-7000x+70000$

Beim Ableiten fallen die 70000 weg und aus -7000x wird -7000.

Den ersten Summanden kannst du auch so schreiben:

$11000\sqrt{x^2+16}=11000(x^2+16)^{\frac{1}{2}}$

Die Klammer kann beispielsweise mit der Kettenregel (äußere mal innere Ableitung) abgeleitet werden. Dann wird daraus

$x\cdot (x^2+16)^{-\frac{1}{2}}$

Somit ist die komplette 1. Ableitung

$f'(x)=11000\cdot x\cdot (x^2+16)^{-\frac{1}{2}}$ oder

$f'(x)=11000x\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+16}}=\frac{11000x}{\sqrt{x^2+16}}$

Hast du dazu noch Fragen?

Gruß, Silvia

Answer 3

$f(x)=\sqrt{x^{2}+16} \cdot 11000+(10-x) \cdot 7000$

Text erkannt:

$\begin{array}{l} f(x)=11000 \cdot \sqrt{x^{2}+16}+70000-7000 x \\ \frac{d f(x)}{d x}=11000 \cdot \frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{x^{2}+16}}-7000 \\ \frac{d f(x)}{d x}=\frac{11000 \cdot x}{\sqrt{x^{2}+16}}-7000 \end{array}$
2.Ableitung:
$\frac{11000 \cdot \sqrt{x^{2}+16}-11000 \cdot x \cdot \frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{x^{2}+16}}}{x^{2}+16}=$
$\begin{array}{l} =\frac{11000 \cdot \sqrt{x^{2}+16}-\frac{11000 \cdot x^{2}}{\sqrt{x^{2}+16}}}{x^{2}+16}= \\ =\frac{11000 \cdot\left(x^{2}+16\right)-11000 \cdot x^{2}}{\left(x^{2}+16\right)\left(\sqrt{x^{2}+16}\right)}= \\ =\frac{176000}{\left(x^{2}+16\right)\left(\sqrt{x^{2}+16}\right)} \end{array}$