Summe, natürliche Zahlen, Beweise

Question

Beispiel

Beweisen Sie für alle n ∈ ℕ \ {0} die Gleichheit

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k^3} \) = [\( \frac{n*(n+1)}{2} \)]² .

Danke im Voraus

Answer 1

Hallo Markus,

zu zeigen ist:$$\sum\limits_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2, \quad n \in \mathbb N$$Induktionsanfang mit \(n=1\)$$\sum\limits_{k=1}^1 k^3 = \left( \frac{1\cdot (1+1)}{2}\right)^2 = 1\space \checkmark$$der passt und nun der Übergang von \(n\) nach \(n+1\)$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^3 &= \sum\limits_{k=1}^n k^3 + (n+1)^3 \\ &= \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 &&|\, \text{lt. Vorauss.}\\ &= (n+1)^2 \left(\left(\frac n2\right)^2 + n+1\right) \\ &= (n+1)^2 \cdot \frac 14(n^2+4n+4) \\ &= \frac 14(n+1)^2(n+2)^2 \\ &= \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$Falls etwas unklar ist, so frage bitte nach.

Gruß Werner

Comments

Hätte eine Frage, warum der Übergang von n nach n+1 ? Würde mich auch freuen, wenn Sie die einzelnen Lösungsschritte im Detail erklären.

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warum der Übergang von n nach n+1 ?

Das ist das Wesen eines Beweises mittels vollständiger Induktion. Mit dem Induktionsanfang ist für \(n=1\) gezeigt, dass die Gleichung erfüllt ist. Wenn man nun zeigt, dass es auch für \(n+1\) gilt, wenn es für \(n\) gilt, dann muss es auch für \(n=2\) richtig sein.

Und wenn es für \(n=2\) stimmt, dann muss es auch für \(n=3\) stimmen ... usw.

Würde mich auch freuen, wenn Sie die einzelnen Lösungsschritte im Detail erklären.

Da frage doch bitte konkret nach wo genau Du etwas nicht verstanden hast. In welcher Zeile hakt's?

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Wie kommen Sie auf (n+1)^3

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Also warum ein Summenzeichen in der linken Seite der Gleichung und warum auf der rechten Seite der Gleichung steht.

... tut mir leid, aber das verstehe ich nicht!

auf welche Zeile in meiner Antwort bezieht sich das?

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Wie kommen Sie auf (n+1)^3

Du meinst in der ersten Zeile. Das Summenzeichen bedeutet doch$$\sum\limits_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3+ \dots (n-1)^3 + n^3$$Wenn man nun \(n\) durch \(n+1\) ersetzt, dann steht da$$\sum\limits_{k=1}^{n+1} k^3 = \underbrace{1^3 + 2^3 + 3^3+ \dots (n-1)^3 + n^3}_{=\sum_{k=1}^n k^3} + (n+1)^3$$dann steht da noch ein zusätzliches \((n+1)^3\). Also ist$$\sum\limits_{k=1}^{n+1} k^3 = \sum\limits_{k=1}^{n} k^3 + (n+1)^3$$

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Vielen Dank, hat sich geklärt.

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Würde gerne wissen, wie sie auf (n+1)³ kommen.

(s.o.)