Aloha :)
Wir suchen die Werte \(x\in[0;2]\), für die folgende Gleichung erfüllt ist:$$\cos^2(\pi x)-\cos(\pi x)=0$$
Hier bieten sich zwei mögliche Vorgehensweisen an. Zum besseren Verständnis führe ich dir beide vor.
1) Faktorisieren:
Wir klammern \(\cos(\pi x)\) aus$$\cos(\pi x)\cdot\left(\cos(\pi x)-1\right)=0$$und nutzen den Satz vom Nullprodukt. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann \(0\) ist, wenn einer der beteiligten Faktoren \(0\) ist.$$\cos(\pi x)=0\quad\text{oder}\quad\cos(\pi x)=1$$Wir schauen uns die Cosinus-Funktion an:
~plot~ cos(pi*x) ; [[0|2,2|-1.2|1,2]] ~plot~
und lesen folgende Lösungen ab:$$\boxed{x=0,5\;;\;x=1,5\quad\text{oder}\quad x=0\;;x=2}$$
2) Quadratische Ergänzung:
Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac14\), um anschließend links die zweite binomische Formel anwenden zu können:$$\left.\cos^2(\pi x)-\cos(\pi x)+\frac14=\frac14\quad\right|\text{2-te binomische Formel links.}$$$$\left.\left(\cos(\pi x)-\frac12\right)^2=\frac14\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\cos(\pi x)-\frac12=\pm\frac12\quad\right|+\frac12$$$$\cos(\pi x)=\frac12\pm\frac12=\left\{\begin{array}{r}0\\1\end{array}\right.$$Auch hier kommen wir zu dem Schluss, dass \(\cos(\pi x)\) gleich \(0\) oder gleich \(1\) sein muss. Die Lösungen sind daher auch dieselben wir beim ersten Vorgehen mit Faktorisieren.
