Es geht letztlich um die Umwandlung einer Matrix in eine Dreiecksmatrix

Question

Aufgabe: Die Matrix A= (-4. -2. -2

                                        3. -1. -1

                                        0  -2. -2).

Für diese Matrix A soll eine invertierbare Matrix S

bestimmt werden, daß SA eine untere Dreiecksmatrix ist. Ich habe zunächst versucht, die Matrix bei umzuformen, daß ich hier eine untere Dreiecksmatrix bekomme. Aber mir gelingt erstmal nur die 2. und 3. Zeile in der 1.Spalte in Nullen umzuwandeln. Und dann komme ich nicht weiter.

Answer 1

Das sind 2 Schritte

\(\small   \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{3}{4}&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}-4&-2&-2\\3&-1&-1\\0&-2&-2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}-4&-2&-2\\0&\frac{-5}{2}&\frac{-5}{2}\\0&-2&-2\\\end{array}\right), Zeile2 += 0.75 Zeile1   \)

\(\small   \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{-4}{5}&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}-4&-2&-2\\0&\frac{-5}{2}&\frac{-5}{2}\\0&-2&-2\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrr}-4&-2&-2\\0&\frac{-5}{2}&\frac{-5}{2}\\0&0&0\\\end{array}\right), Zeile3  − = 0.8 Zeile2   \)

Comments

Erstmal danke für die Antwort. Es heißt ja in diesem Fall, unterhalb der Diagonale lauter Nullen. Demnach verstehe ich die 3/4 in der 2.Z. 1.Spalte nicht. Bis jetzt bin ich davon ausgegangen, dass ich die Matrix A mit der Einheitsmatrix solange umformen, das die Matrix A die von mir beschriebene untere Dreiecksmatrix ergibt und rechts die Transformationsmatrix steht.

---

Zum Gaußen siehe

https://www.geogebra.org/m/xafbbtsp

weiter unten auf der Seite bei

Gauß-Algorithmus R4x4

Mit der Einheitsmatrix formst Du nix um!

Die Transformatinosmatrix S ist das Produkt der Elementarmatrizen der Umformungsschritte:

Merkwürdig ist, dass eine Zeile rausfällt - überprüfe mal auf Tippfehler?

Das Gesamtprogramm mit der App
https://www.geogebra.org/m/yygxzq8p

P:{{3, 2, -4 / 5}, {2, 1, 3 / 4}}
A:={{-4, -2, -2}, {3,-1, -1}, { 0, -2,-2}}

S=Product(P)

\(\small S=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{3}{4}&1&0\\\frac{-3}{5}&\frac{-4}{5}&1\\\end{array}\right)\)