Beweis mit Induktion (4/3)^n > n

Question

Aufgabe/Ansatz:

Hallo :) es geht um den Beweis von Induktion. Allerdings gibt es eine Teilaufgabe ohne Summenzeichen bei welcher ich auf dem Schlauch stehe. Bei den mir bekannten Aufgaben mit Summenzeichen mache ich den Beweis wie folgt:

1. Schritt

2. Voraussetzung

3. Behauptung

4. Beweis

Bei dieser Aufgabe fehlt mir jedoch der komplette Ansatz:

Beweisen Sie mit geeigneter Induktion:

Für alle n ≥ 7 gilt  (4/3)^n > n

Vielen Dank für eure Hilfe und einen schönen Sonntag!

Answer 1

Induktionsanfang für n = 7: (4/3)⁷ > 7 stimmt offenbar (nachrechnen).

Induktionsschritt: Es ist zu zeigen, dass die Aussage für n+1 gilt, wenn sie für ein n ≥ 7 gilt.
Es gelte also (4/3)ⁿ > n für ein n ≥ 7. Dann gilt auch
(4/3)ⁿ⁺¹ = (4/3)·(4/3)ⁿ > (4/3)·n = n + n/3 > n + 3/3 = n + 1.

Comments

Vielen Dank für die Antwort, die ersten Schritte habe ich verstanden, aber wie bist du von:

(4/3)·(4/3)^n > (4/3)·n

zu dem gekommen: n + n/3 > n + 3/3

Das kann ich nicht nachvollziehen.

VG

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Es ist (4/3)·n = (1 + 1/3)·n = n + n/3. Und da nach Induktionsvoraussetzung n ≥ 7 sein soll, gilt sicher auch n > 3 und damit n + n/3 > n + 3/3.

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Okay, aber es soll ja gelten n≥7 und n>3 wäre ja in dem Fall ungültig oder habe ich da ein Denkfehler?

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Der Induktionsschritt geht bereits für alle n > 3 durch und damit natürlich auch für alle n ≥ 7 (umgekehrt wäre es nicht gültig). Du kannst die Abschätzung aber auch folgendermaßen machen: n + n/3 ≥ n + 7/3 > n + 1.

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OK, ich denke so kann ich es nachvollziehen. Nochmals vielen Dank für die Erklärung!